Номер 108, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 108, страница 41.

Условие.

108. Доказать, что при любом a значение выражения отрицательно:

1) $(-1,5)^3 - a^2;$

2) $(-7)^5 - (1-a)^4;$

3) $2a(4a-3) - (3a-1)^2;$

4) $3a(a+4) - (2a+3)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Рассмотрим выражение $(-1,5)^3 - a^2$.
Первый член выражения $(-1,5)^3$ является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным:
$(-1,5)^3 = -1,5 \cdot (-1,5) \cdot (-1,5) = -3,375$.
Второй член выражения — это $a^2$. Для любого действительного числа a, его квадрат $a^2$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $-a^2$ является неположительным, то есть $-a^2 \le 0$.
Таким образом, мы складываем строго отрицательное число ($-3,375$) и неположительное число ($-a^2$). Их сумма всегда будет отрицательной.
$-3,375 - a^2 \le -3,375 < 0$.
Ответ: Значение выражения всегда отрицательно, так как представляет собой сумму отрицательного и неположительного слагаемых.

2) Рассмотрим выражение $(-7)^5 - (1-a)^4$.
Первый член выражения $(-7)^5$ является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным:
$(-7)^5 = -16807$.
Второй член выражения — это $(1-a)^4$. Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным. Таким образом, $(1-a)^4 \ge 0$. Следовательно, выражение $-(1-a)^4$ является неположительным, то есть $-(1-a)^4 \le 0$.
Мы вычитаем из строго отрицательного числа ($-16807$) неотрицательное число ($(1-a)^4$), что равносильно сложению отрицательного и неположительного чисел. Результат всегда будет отрицательным.
$-16807 - (1-a)^4 \le -16807 < 0$.
Ответ: Значение выражения всегда отрицательно, так как из отрицательного числа вычитается неотрицательное.

3) Упростим выражение $2a(4a-3) - (3a-1)^2$.
Сначала раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$2a(4a-3) = 8a^2 - 6a$
$(3a-1)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное:
$(8a^2 - 6a) - (9a^2 - 6a + 1) = 8a^2 - 6a - 9a^2 + 6a - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(8a^2 - 9a^2) + (-6a + 6a) - 1 = -a^2 - 1$.
Проанализируем полученное выражение $-a^2 - 1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого a, то $-a^2 \le 0$. Если к неположительному числу ($-a^2$) прибавить отрицательное число ($-1$), результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-a^2-1$ достигается при $a=0$ и равно $-1$.
Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-a^2-1$, значение которого всегда отрицательно.

4) Упростим выражение $3a(a+4) - (2a+3)^2$.
Сначала раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$3a(a+4) = 3a^2 + 12a$
$(2a+3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное:
$(3a^2 + 12a) - (4a^2 + 12a + 9) = 3a^2 + 12a - 4a^2 - 12a - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(3a^2 - 4a^2) + (12a - 12a) - 9 = -a^2 - 9$.
Проанализируем полученное выражение $-a^2 - 9$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого a, то $-a^2 \le 0$. Если к неположительному числу ($-a^2$) прибавить отрицательное число ($-9$), результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-a^2-9$ достигается при $a=0$ и равно $-9$.
Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-a^2-9$, значение которого всегда отрицательно.