Номер 120, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 120, страница 42.

Условие.

120. 1) $\frac{x}{x-5} - \frac{x-2}{x-6} = 0;$

2) $\frac{x+1}{x-2} + \frac{1-x}{x+3} = 0;$

3) $\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0;$

4) $\frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{x-2}{x-6} = 0 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:
$ x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $
$ x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-5)(x-6) $:
$ \frac{x(x-6)}{(x-5)(x-6)} - \frac{(x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{x(x-6) - (x-2)(x-5)}{(x-5)(x-6)} = 0 $
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:
$ x(x-6) - (x-2)(x-5) = 0 $
Раскроем скобки:
$ x^2 - 6x - (x^2 - 5x - 2x + 10) = 0 $
$ x^2 - 6x - (x^2 - 7x + 10) = 0 $
$ x^2 - 6x - x^2 + 7x - 10 = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x - 10 = 0 $
$ x = 10 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ 10 \neq 5 $ и $ 10 \neq 6 $. Корень подходит.
Ответ: 10

2) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{x-2} + \frac{1-x}{x+3} = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
$ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (x-2)(x+3) $:
$ \frac{(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{(1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{(x+1)(x+3) + (1-x)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ (x+1)(x+3) + (1-x)(x-2) = 0 $
Раскроем скобки:
$ (x^2 + 3x + x + 3) + (x - 2 - x^2 + 2x) = 0 $
$ (x^2 + 4x + 3) + (-x^2 + 3x - 2) = 0 $
Приведем подобные слагаемые:
$ x^2 + 4x + 3 - x^2 + 3x - 2 = 0 $
$ 7x + 1 = 0 $
$ 7x = -1 $
$ x = -\frac{1}{7} $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -\frac{1}{7} \neq 2 $ и $ -\frac{1}{7} \neq -3 $. Корень подходит.
Ответ: -1/7

3) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0 $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2-1 = (x-1)(x+1) $
Уравнение принимает вид:
$ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
Найдем ОДЗ:
$ x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
$ x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 $
Общий знаменатель: $ (x-1)(x+1) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
$ \frac{x+1-2}{(x-1)(x+1)} = 0 $
$ \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Найденный корень $ x=1 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq 1 $. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: нет корней

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $
$ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $
Общий знаменатель: $ (x-2)(x-3) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{1(x-2)}{(x-2)(x-3)} - \frac{1}{(x-2)(x-3)} = 0 $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{x-2-1}{(x-2)(x-3)} = 0 $
$ \frac{x-3}{(x-2)(x-3)} = 0 $
Приравняем числитель к нулю:
$ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Найденный корень $ x=3 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq 3 $. Следовательно, это посторонний корень.
Ответ: нет корней