Номер 121, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 121, страница 43.

Условие.

121. Доказать, что:

1) $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$, если $a>0$;

2) $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$, если $a<0$;

3) $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$, если $a>0$;

4) $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$, если $a<0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Доказать, что $\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} > 0$, если $a > 0$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$\frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} = \frac{(a+3) - (a+2)}{(a+2)(a+3)} = \frac{a+3-a-2}{(a+2)(a+3)} = \frac{1}{(a+2)(a+3)}$.
Теперь оценим знак полученного выражения при условии, что $a > 0$.
Числитель дроби равен 1, то есть он положителен.
Знаменатель представляет собой произведение двух множителей: $(a+2)$ и $(a+3)$.
Поскольку $a > 0$, то $a+2 > 2$, следовательно, $a+2 > 0$.
Аналогично, поскольку $a > 0$, то $a+3 > 3$, следовательно, $a+3 > 0$.
Произведение двух положительных чисел $(a+2)(a+3)$ является положительным числом.
Таким образом, вся дробь представляет собой частное от деления положительного числа (1) на положительное число, а значит, результат будет положительным.
$\frac{1}{(a+2)(a+3)} > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Доказать, что $\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} > 0$, если $a < 0$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} = \frac{(a-1) - (a-2)}{(a-2)(a-1)} = \frac{a-1-a+2}{(a-2)(a-1)} = \frac{1}{(a-2)(a-1)}$.
Оценим знак выражения при условии, что $a < 0$.
Числитель равен 1, он положителен.
Знаменатель состоит из двух множителей: $(a-2)$ и $(a-1)$.
Поскольку $a < 0$, то $a-2 < -2$, следовательно, $a-2$ — отрицательное число.
Аналогично, поскольку $a < 0$, то $a-1 < -1$, следовательно, $a-1$ — отрицательное число.
Произведение двух отрицательных чисел $(a-2)(a-1)$ является положительным числом.
Вся дробь является частным от деления положительного числа на положительное, значит, она больше нуля.
$\frac{1}{(a-2)(a-1)} > 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Доказать, что $\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} < 0$, если $a > 0$.

Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{2}{3a+2} - \frac{1}{a+1} = \frac{2(a+1) - 1(3a+2)}{(3a+2)(a+1)} = \frac{2a+2-3a-2}{(3a+2)(a+1)} = \frac{-a}{(3a+2)(a+1)}$.
Оценим знак полученной дроби при $a > 0$.
Числитель дроби: $-a$. Так как $a > 0$, то $-a < 0$, то есть числитель отрицателен.
Знаменатель: $(3a+2)(a+1)$.
Так как $a > 0$, то $3a+2 > 2 > 0$ (положительно).
Так как $a > 0$, то $a+1 > 1 > 0$ (положительно).
Произведение двух положительных чисел $(3a+2)(a+1)$ положительно.
Таким образом, мы делим отрицательный числитель на положительный знаменатель, результат будет отрицательным.
$\frac{-a}{(3a+2)(a+1)} < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Доказать, что $\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} < 0$, если $a < 0$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю:
$\frac{1}{1-a} - \frac{3}{3-2a} = \frac{1(3-2a) - 3(1-a)}{(1-a)(3-2a)} = \frac{3-2a-3+3a}{(1-a)(3-2a)} = \frac{a}{(1-a)(3-2a)}$.
Оценим знак полученного выражения при условии $a < 0$.
Числитель дроби равен $a$. По условию $a < 0$, значит, числитель отрицателен.
Знаменатель представляет собой произведение $(1-a)(3-2a)$.
Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Следовательно, $1-a > 1$, то есть $1-a$ — положительное число.
Так как $a < 0$, то $-2a > 0$. Следовательно, $3-2a > 3$, то есть $3-2a$ — положительное число.
Произведение двух положительных чисел $(1-a)(3-2a)$ является положительным числом.
В результате мы делим отрицательный числитель ($a$) на положительный знаменатель, следовательно, вся дробь будет отрицательной.
$\frac{a}{(1-a)(3-2a)} < 0$.
Ответ: Неравенство доказано.