Номер 117, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 117, страница 42.

Условие.

117. 1) $\frac{x^2-4}{x-2}=0$;

2) $\frac{x^2-1}{x-1}=0$;

3) $\frac{x^2+5x}{x}=0$;

4) $\frac{x-3x^2}{x}=0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для решения уравнения $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$ необходимо, чтобы числитель дроби был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Теперь приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 4 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Сравниваем полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, поэтому он является посторонним корнем. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -2$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -1$ входит в ОДЗ.
Ответ: $x = -1$.

3) Решим уравнение $\frac{x^2 + 5x}{x} = 0$.
Условие равенства дроби нулю: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.
Сверяем корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = -5$.

4) Решим уравнение $\frac{x - 3x^2}{x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Приравняем числитель к нулю:
$x - 3x^2 = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(1 - 3x) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $1 - 3x = 0$.
Из второго уравнения: $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \neq 0$, поэтому это посторонний корень. Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{1}{3}$.