Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

195. 1) $\frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2};$

2) $\frac{x-4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x+1}{4};$

3) $\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4};$

4) $\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5}.$

1) Решим неравенство $\frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2}$.

Для того, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3), которое равно 6. Знак неравенства при этом не изменится.

$6 \cdot (\frac{x+1}{2} - 2x) \le 6 \cdot (\frac{x-2}{3} + \frac{x}{2})$

$3(x+1) - 12x \le 2(x-2) + 3x$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 12x \le 2x - 4 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$-9x + 3 \le 5x - 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 + 4 \le 5x + 9x$

$7 \le 14x$

Разделим обе части неравенства на 14:

$\frac{7}{14} \le x$

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x+1}{4}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (3, 4) равно 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot (\frac{x-4}{3} + 3x) \ge 12 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{x+1}{4})$

$4(x-4) + 36x \ge 4x - 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$4x - 16 + 36x \ge 4x - 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$40x - 16 \ge x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$40x - x \ge 16 - 3$

$39x \ge 13$

Разделим обе части на 39:

$x \ge \frac{13}{39}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (2, 5, 4) равно 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot (\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5}) > 20 \cdot (\frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4})$

$10(2x-1) - 4(2x) > 4(3x-2) - 5x$

Раскроем скобки:

$20x - 10 - 8x > 12x - 8 - 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$12x - 10 > 7x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12x - 7x > 10 - 8$

$5x > 2$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{2}{5}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{5}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (4, 2, 3, 5) равно 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$60 \cdot (\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2}) < 60 \cdot (\frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5})$

$15(3x+1) - 30x < 20(5x-2) + 12(3x)$

Раскроем скобки:

$45x + 15 - 30x < 100x - 40 + 36x$

Приведем подобные слагаемые:

$15x + 15 < 136x - 40$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 + 40 < 136x - 15x$

$55 < 121x$

Разделим обе части на 121:

$\frac{55}{121} < x$

Сократим дробь на 11:

$x > \frac{5}{11}$

Ответ: $x \in (\frac{5}{11}, +\infty)$.

196. 1) При каких $a$ значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$?

2) При каких $b$ значение дроби $\frac{b+3}{2}$ меньше значения дроби $\frac{b-1}{5}$?

3) При каких $x$ значение дроби $\frac{3x-5}{6}$ больше значения разности дробей $\frac{6x-7}{15}$ и $\frac{3-x}{9}$?

1) Чтобы найти значения $a$, при которых значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$, составим и решим неравенство:

$\frac{a}{3} > \frac{a+1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12. Для этого умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 - положительное число, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot \frac{a}{3} > 12 \cdot \frac{a+1}{4}$

$4a > 3(a+1)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$4a > 3a + 3$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в левую часть:

$4a - 3a > 3$

$a > 3$

Таким образом, значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$ при всех $a$, больших 3.

Ответ: $a > 3$.

2) Чтобы найти значения $b$, при которых значение дроби $\frac{b+3}{2}$ меньше значения дроби $\frac{b-1}{5}$, составим и решим неравенство:

$\frac{b+3}{2} < \frac{b-1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot \frac{b+3}{2} < 10 \cdot \frac{b-1}{5}$

$5(b+3) < 2(b-1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5b + 15 < 2b - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$5b - 2b < -2 - 15$

$3b < -17$

Разделим обе части на 3:

$b < -\frac{17}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $b < -5\frac{2}{3}$.

Ответ: $b < -\frac{17}{3}$.

3) Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $\frac{3x-5}{6}$ больше значения разности дробей $\frac{6x-7}{15}$ и $\frac{3-x}{9}$, составим и решим неравенство:

$\frac{3x-5}{6} > \frac{6x-7}{15} - \frac{3-x}{9}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6, 15 и 9. $НОК(6, 15, 9) = 90$. Умножим все члены неравенства на 90:

$90 \cdot \frac{3x-5}{6} > 90 \cdot \frac{6x-7}{15} - 90 \cdot \frac{3-x}{9}$

$15(3x-5) > 6(6x-7) - 10(3-x)$

Раскроем скобки:

$45x - 75 > 36x - 42 - 30 + 10x$

Приведем подобные слагаемые в правой части неравенства:

$45x - 75 > (36x+10x) + (-42-30)$

$45x - 75 > 46x - 72$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$-75 + 72 > 46x - 45x$

$-3 > x$

Запишем это в более привычном виде:

$x < -3$

Ответ: $x < -3$.

Решить неравенство (197—200).

197. 1) $3(x-2)+x < 4x+1;$

2) $5(x+2)-x > 3(x-1)+x;$

3) $\frac{3x+6}{4} - \frac{x}{4} > \frac{x+2}{2};$

4) $\frac{2x-1}{5} - 4 < x - \frac{3x+1}{5};$

5) $5x+1 \geq 2(x-1)+3x+3;$

6) $\frac{x+4}{2} - x \leq 2 - \frac{x}{2}.$

1) $3(x-2)+x < 4x+1$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3x - 6 + x < 4x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x + x) - 6 < 4x + 1$

$4x - 6 < 4x + 1$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства:

$4x - 4x < 1 + 6$

$0 \cdot x < 7$

$0 < 7$

Полученное неравенство $0 < 7$ является верным числовым неравенством и не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $5(x+2)-x > 3(x-1)+x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x + 10 - x > 3x - 3 + x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(5x - x) + 10 > (3x + x) - 3$

$4x + 10 > 4x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x - 4x > -3 - 10$

$0 \cdot x > -13$

$0 > -13$

Полученное неравенство $0 > -13$ является верным. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $\frac{3x+6}{4} - \frac{x}{4} > \frac{x+2}{2}$

Поскольку дроби в левой части имеют одинаковый знаменатель, объединим их:

$\frac{3x+6-x}{4} > \frac{x+2}{2}$

$\frac{2x+6}{4} > \frac{x+2}{2}$

Сократим дробь в левой части на 2:

$\frac{2(x+3)}{4} > \frac{x+2}{2}$

$\frac{x+3}{2} > \frac{x+2}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$x+3 > x+2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x - x > 2 - 3$

$0 \cdot x > -1$

$0 > -1$

Так как неравенство $0 > -1$ верно, исходное неравенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $\frac{2x-1}{5} - 4 < x - \frac{3x+1}{5}$

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на 5:

$5 \cdot \left(\frac{2x-1}{5} - 4\right) < 5 \cdot \left(x - \frac{3x+1}{5}\right)$

$5 \cdot \frac{2x-1}{5} - 5 \cdot 4 < 5x - 5 \cdot \frac{3x+1}{5}$

$(2x-1) - 20 < 5x - (3x+1)$

Раскроем скобки:

$2x - 1 - 20 < 5x - 3x - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x - 21 < 2x - 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x - 2x < -1 + 21$

$0 \cdot x < 20$

$0 < 20$

Полученное неравенство $0 < 20$ является верным, поэтому решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) $5x+1 \geq 2(x-1) + 3x + 3$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x+1 \geq 2x - 2 + 3x + 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x+1 \geq (2x+3x) + (-2+3)$

$5x+1 \geq 5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x - 5x \geq 1 - 1$

$0 \cdot x \geq 0$

$0 \geq 0$

Неравенство $0 \geq 0$ является верным (так как $0=0$). Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) $\frac{x+4}{2} - x \leq 2 - \frac{x}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$2 \cdot \left(\frac{x+4}{2} - x\right) \leq 2 \cdot \left(2 - \frac{x}{2}\right)$

$2 \cdot \frac{x+4}{2} - 2x \leq 2 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{x}{2}$

$(x+4) - 2x \leq 4 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x + 4 \leq 4 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-x + x \leq 4 - 4$

$0 \cdot x \leq 0$

$0 \leq 0$

Полученное неравенство $0 \leq 0$ является верным. Значит, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

198. 1) $5(x+2) + 2(x-3) < 3(x-1) + 4x;$

2) $3(2x-1) + 3(x-1) > 5(x+2) + 2(2x-3);$

3) $\frac{5x+3}{2} - 1 \ge 3x - \frac{x-7}{2};$

4) $2 - \frac{x-4}{3} \le 2x - \frac{7x-4}{3}.$

1) $5(x+2)+2(x-3)<3(x-1)+4x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x + 10 + 2x - 6 < 3x - 3 + 4x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(5x+2x) + (10-6) < (3x+4x) - 3$

$7x + 4 < 7x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$7x - 7x < -3 - 4$

$0 \cdot x < -7$

$0 < -7$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $3(2x-1)+3(x-1)>5(x+2)+2(2x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x - 3 + 3x - 3 > 5x + 10 + 4x - 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(6x+3x) + (-3-3) > (5x+4x) + (10-6)$

$9x - 6 > 9x + 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$9x - 9x > 4 + 6$

$0 \cdot x > 10$

$0 > 10$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $\frac{5x+3}{2}-1 \ge 3x-\frac{x-7}{2}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot (\frac{5x+3}{2}-1) \ge 2 \cdot (3x-\frac{x-7}{2})$

$2 \cdot \frac{5x+3}{2} - 2 \cdot 1 \ge 2 \cdot 3x - 2 \cdot \frac{x-7}{2}$

$5x+3-2 \ge 6x-(x-7)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x + 1 \ge 6x - x + 7$

$5x + 1 \ge 5x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$5x - 5x \ge 7 - 1$

$0 \cdot x \ge 6$

$0 \ge 6$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) $2-\frac{x-4}{3} \le 2x-\frac{7x-4}{3}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на 3:

$3 \cdot (2-\frac{x-4}{3}) \le 3 \cdot (2x-\frac{7x-4}{3})$

$3 \cdot 2 - 3 \cdot \frac{x-4}{3} \le 3 \cdot 2x - 3 \cdot \frac{7x-4}{3}$

$6 - (x-4) \le 6x - (7x-4)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$6 - x + 4 \le 6x - 7x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$10 - x \le -x + 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$-x + x \le 4 - 10$

$0 \cdot x \le -6$

$0 \le -6$

Полученное неравенство является неверным. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

199. 1) $(x-1)^2 + 7 > (x+4)^2;$

2) $(1+x)^2 + 3x^2 < (2x-1)^2 + 7;$

3) $(x+3)(x-2) \ge (x+2)(x-3);$

4) $(x+1)(x-4)+4 \ge (x+2)(x-3)-x.$

1) $(x-1)^2+7>(x+4)^2$
Для решения данного неравенства раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 + 7 > x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + 7 > x^2 + 8x + 16$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$x^2 - 2x + 8 > x^2 + 8x + 16$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.
$x^2 - 2x - x^2 - 8x > 16 - 8$
$-10x > 8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -10. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{8}{-10}$
$x < -0.8$
Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.

2) $(1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства, используя формулы сокращенного умножения.
$1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 + 3x^2 < (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 7$
$1 + 2x + x^2 + 3x^2 < 4x^2 - 4x + 1 + 7$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$4x^2 + 2x + 1 < 4x^2 - 4x + 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.
$4x^2 + 2x - 4x^2 + 4x < 8 - 1$
$6x < 7$
Разделим обе части неравенства на 6:
$x < \frac{7}{6}$
$x < 1\frac{1}{6}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{6})$.

3) $(x+3)(x-2) \ge (x+2)(x-3)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства путем перемножения многочленов.
$x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) \ge x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3)$
$x^2 - 2x + 3x - 6 \ge x^2 - 3x + 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 + x - 6 \ge x^2 - x - 6$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства.
$x^2 + x - 6 - x^2 + x + 6 \ge 0$
$2x \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

4) $(x+1)(x-4)+4 \ge (x+2)(x-3)-x$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
$x^2 - 4x + x - 4 + 4 \ge x^2 - 3x + 2x - 6 - x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 - 3x \ge x^2 - 2x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой.
$x^2 - 3x - x^2 + 2x \ge -6$
$-x \ge -6$
Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le 6$
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

200. 1) $\frac{2}{3x+6} < 0;$

2) $\frac{3}{2x-4} > 0;$

3) $\frac{-1,7}{0,5x-2} > 0;$

4) $\frac{-2,3}{0,4x+8} < 0;$

5) $\frac{-1,7}{2,1+6,3x} < 0;$

6) $\frac{-3,8}{3,2-6,4x} > 0.$

1) Чтобы дробь $\frac{2}{3x+6}$ была меньше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был отрицательным, так как числитель (2) положителен. Решим неравенство:

$3x+6 < 0$

$3x < -6$

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

2) Чтобы дробь $\frac{3}{2x-4}$ была больше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был положительным, так как числитель (3) положителен. Решим неравенство:

$2x-4 > 0$

$2x > 4$

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) Чтобы дробь $\frac{-1,7}{0,5x-2}$ была больше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был отрицательным, так как числитель (-1,7) отрицателен (частное двух отрицательных чисел положительно). Решим неравенство:

$0,5x-2 < 0$

$0,5x < 2$

$x < 4$

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

4) Чтобы дробь $\frac{-2,3}{0,4x+8}$ была меньше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был положительным, так как числитель (-2,3) отрицателен (частное отрицательного и положительного чисел отрицательно). Решим неравенство:

$0,4x+8 > 0$

$0,4x > -8$

$x > \frac{-8}{0,4}$

$x > -20$

Ответ: $x \in (-20; +\infty)$.

5) Чтобы дробь $\frac{-1,7}{2,1+6,3x}$ была меньше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был положительным, так как числитель (-1,7) отрицателен. Решим неравенство:

$2,1+6,3x > 0$

$6,3x > -2,1$

$x > \frac{-2,1}{6,3}$

$x > -\frac{1}{3}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

6) Чтобы дробь $\frac{-3,8}{3,2-6,4x}$ была больше нуля, необходимо, чтобы ее знаменатель был отрицательным, так как числитель (-3,8) отрицателен. Решим неравенство:

$3,2-6,4x < 0$

$-6,4x < -3,2$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-3,2}{-6,4}$

$x > \frac{1}{2}$ или $x > 0,5$

Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

201. При каких $x$ значения функции $y=2.5x-4$:

1) положительны;

2) отрицательны;

3) больше 1;

4) меньше -4?

1) положительны;
Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2,5x - 4$ положительны, необходимо решить неравенство $y > 0$.
Подставим выражение для $y$:
$2,5x - 4 > 0$
Прибавим $4$ к обеим частям неравенства:
$2,5x > 4$
Разделим обе части на $2,5$ (так как $2,5$ — положительное число, знак неравенства сохраняется):
$x > \frac{4}{2,5}$
$x > 1,6$
Следовательно, значения функции положительны при $x > 1,6$.
Ответ: при $x \in (1,6; +\infty)$.

2) отрицательны;
Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2,5x - 4$ отрицательны, необходимо решить неравенство $y < 0$.
Подставим выражение для $y$:
$2,5x - 4 < 0$
Прибавим $4$ к обеим частям неравенства:
$2,5x < 4$
Разделим обе части на $2,5$:
$x < \frac{4}{2,5}$
$x < 1,6$
Следовательно, значения функции отрицательны при $x < 1,6$.
Ответ: при $x \in (-\infty; 1,6)$.

3) больше 1;
Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2,5x - 4$ больше $1$, необходимо решить неравенство $y > 1$.
Подставим выражение для $y$:
$2,5x - 4 > 1$
Прибавим $4$ к обеим частям неравенства:
$2,5x > 1 + 4$
$2,5x > 5$
Разделим обе части на $2,5$:
$x > \frac{5}{2,5}$
$x > 2$
Следовательно, значения функции больше $1$ при $x > 2$.
Ответ: при $x \in (2; +\infty)$.

4) меньше -4?
Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2,5x - 4$ меньше $-4$, необходимо решить неравенство $y < -4$.
Подставим выражение для $y$:
$2,5x - 4 < -4$
Прибавим $4$ к обеим частям неравенства:
$2,5x < -4 + 4$
$2,5x < 0$
Разделим обе части на $2,5$:
$x < \frac{0}{2,5}$
$x < 0$
Следовательно, значения функции меньше $-4$ при $x < 0$.
Ответ: при $x \in (-\infty; 0)$.

202. При каких $x$ значения функции $y = 3.5 - 0.5x$:

1) положительны;

2) неотрицательны;

3) не больше $3.5$;

4) не меньше $1$?

Для решения задачи необходимо для каждого пункта составить и решить соответствующее неравенство относительно переменной $x$, используя данную функцию $y = 3,5 - 0,5x$.

1) положительны;

Значения функции являются положительными, когда $y > 0$. Составим и решим это неравенство:

$3,5 - 0,5x > 0$

Переносим $3,5$ в правую часть, меняя знак:

$-0,5x > -3,5$

Делим обе части на $-0,5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-3,5}{-0,5}$

$x < 7$

Ответ: значения функции положительны при $x < 7$, то есть для $x \in (-\infty; 7)$.

2) неотрицательны;

Значения функции являются неотрицательными, когда $y \geq 0$. Составим и решим неравенство:

$3,5 - 0,5x \geq 0$

Переносим $3,5$ в правую часть:

$-0,5x \geq -3,5$

Делим обе части на $-0,5$ и меняем знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-3,5}{-0,5}$

$x \leq 7$

Ответ: значения функции неотрицательны при $x \leq 7$, то есть для $x \in (-\infty; 7]$.

3) не больше 3,5;

Условие "не больше 3,5" означает, что $y \leq 3,5$. Составим и решим это неравенство:

$3,5 - 0,5x \leq 3,5$

Вычитаем $3,5$ из обеих частей неравенства:

$-0,5x \leq 0$

Делим обе части на $-0,5$ и меняем знак неравенства на противоположный:

$x \geq \frac{0}{-0,5}$

$x \geq 0$

Ответ: значения функции не больше 3,5 при $x \geq 0$, то есть для $x \in [0; +\infty)$.

4) не меньше 1?

Условие "не меньше 1" означает, что $y \geq 1$. Составим и решим это неравенство:

$3,5 - 0,5x \geq 1$

Вычитаем $3,5$ из обеих частей:

$-0,5x \geq 1 - 3,5$

$-0,5x \geq -2,5$

Делим обе части на $-0,5$ и меняем знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-2,5}{-0,5}$

$x \leq 5$

Ответ: значения функции не меньше 1 при $x \leq 5$, то есть для $x \in (-\infty; 5]$.