Номер 197, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 197, страница 74.

Условие.

Решить неравенство (197—200).

197. 1) $3(x-2)+x < 4x+1;$

2) $5(x+2)-x > 3(x-1)+x;$

3) $\frac{3x+6}{4} - \frac{x}{4} > \frac{x+2}{2};$

4) $\frac{2x-1}{5} - 4 < x - \frac{3x+1}{5};$

5) $5x+1 \geq 2(x-1)+3x+3;$

6) $\frac{x+4}{2} - x \leq 2 - \frac{x}{2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $3(x-2)+x < 4x+1$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3x - 6 + x < 4x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3x + x) - 6 < 4x + 1$

$4x - 6 < 4x + 1$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть неравенства:

$4x - 4x < 1 + 6$

$0 \cdot x < 7$

$0 < 7$

Полученное неравенство $0 < 7$ является верным числовым неравенством и не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

---

2) $5(x+2)-x > 3(x-1)+x$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x + 10 - x > 3x - 3 + x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(5x - x) + 10 > (3x + x) - 3$

$4x + 10 > 4x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x - 4x > -3 - 10$

$0 \cdot x > -13$

$0 > -13$

Полученное неравенство $0 > -13$ является верным. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

---

3) $\frac{3x+6}{4} - \frac{x}{4} > \frac{x+2}{2}$

Поскольку дроби в левой части имеют одинаковый знаменатель, объединим их:

$\frac{3x+6-x}{4} > \frac{x+2}{2}$

$\frac{2x+6}{4} > \frac{x+2}{2}$

Сократим дробь в левой части на 2:

$\frac{2(x+3)}{4} > \frac{x+2}{2}$

$\frac{x+3}{2} > \frac{x+2}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$x+3 > x+2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$x - x > 2 - 3$

$0 \cdot x > -1$

$0 > -1$

Так как неравенство $0 > -1$ верно, исходное неравенство справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

---

4) $\frac{2x-1}{5} - 4 < x - \frac{3x+1}{5}$

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на 5:

$5 \cdot \left(\frac{2x-1}{5} - 4\right) < 5 \cdot \left(x - \frac{3x+1}{5}\right)$

$5 \cdot \frac{2x-1}{5} - 5 \cdot 4 < 5x - 5 \cdot \frac{3x+1}{5}$

$(2x-1) - 20 < 5x - (3x+1)$

Раскроем скобки:

$2x - 1 - 20 < 5x - 3x - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$2x - 21 < 2x - 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x - 2x < -1 + 21$

$0 \cdot x < 20$

$0 < 20$

Полученное неравенство $0 < 20$ является верным, поэтому решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

---

5) $5x+1 \geq 2(x-1) + 3x + 3$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x+1 \geq 2x - 2 + 3x + 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x+1 \geq (2x+3x) + (-2+3)$

$5x+1 \geq 5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x - 5x \geq 1 - 1$

$0 \cdot x \geq 0$

$0 \geq 0$

Неравенство $0 \geq 0$ является верным (так как $0=0$). Следовательно, исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

---

6) $\frac{x+4}{2} - x \leq 2 - \frac{x}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$2 \cdot \left(\frac{x+4}{2} - x\right) \leq 2 \cdot \left(2 - \frac{x}{2}\right)$

$2 \cdot \frac{x+4}{2} - 2x \leq 2 \cdot 2 - 2 \cdot \frac{x}{2}$

$(x+4) - 2x \leq 4 - x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x + 4 \leq 4 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-x + x \leq 4 - 4$

$0 \cdot x \leq 0$

$0 \leq 0$

Полученное неравенство $0 \leq 0$ является верным. Значит, решением исходного неравенства является любое действительное число.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.