Номер 203, страница 75 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 203, страница 75.

Условие.

203. Построить график функции $y = 3 - 2x$. С помощью графика найти значения $x$, при которых точки графика лежат:

1) выше оси абсцисс;

2) выше прямой $y = 2$;

3) ниже оси абсцисс;

4) ниже прямой $y = 4$.

Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Функция $y = 3 - 2x$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого примем $x=0$:
$y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.
Получили точку $A(0; 3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого примем $y=0$:
$0 = 3 - 2x$
$2x = 3$
$x = 1.5$.
Получили точку $B(1.5; 0)$.

Проведем прямую через точки $A(0; 3)$ и $B(1.5; 0)$. Это и есть график функции $y = 3 - 2x$.

---

Теперь с помощью графика найдем значения $x$ для каждого из условий.

1) выше оси абсцисс

Точки графика лежат выше оси абсцисс ($y>0$), если они находятся левее точки пересечения графика с осью $Ox$, то есть точки $B(1.5; 0)$.
Следовательно, это происходит при $x < 1.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y > 0$:
$3 - 2x > 0$
$-2x > -3$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$x < \frac{-3}{-2}$
$x < 1.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x < 1.5$.

2) выше прямой y = 2

Сначала найдем точку пересечения графика $y = 3 - 2x$ с прямой $y=2$:
$3 - 2x = 2$
$-2x = 2 - 3$
$-2x = -1$
$x = 0.5$.
Точка пересечения имеет координаты $(0.5; 2)$.
График функции $y = 3 - 2x$ лежит выше прямой $y=2$ (т.е. $y>2$) левее этой точки.
Следовательно, это происходит при $x < 0.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y > 2$:
$3 - 2x > 2$
$-2x > -1$
$x < 0.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x < 0.5$.

3) ниже оси абсцисс

Точки графика лежат ниже оси абсцисс ($y<0$), если они находятся правее точки пересечения графика с осью $Ox$, то есть точки $B(1.5; 0)$.
Следовательно, это происходит при $x > 1.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y < 0$:
$3 - 2x < 0$
$-2x < -3$
$x > 1.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x > 1.5$.

4) ниже прямой y = 4

Сначала найдем точку пересечения графика $y = 3 - 2x$ с прямой $y=4$:
$3 - 2x = 4$
$-2x = 4 - 3$
$-2x = 1$
$x = -0.5$.
Точка пересечения имеет координаты $(-0.5; 4)$.
График функции $y = 3 - 2x$ лежит ниже прямой $y=4$ (т.е. $y<4$) правее этой точки.
Следовательно, это происходит при $x > -0.5$.

Проверка:
Решим неравенство $y < 4$:
$3 - 2x < 4$
$-2x < 1$
$x > -0.5$.
Результаты совпали.

Ответ: $x > -0.5$.