Номер 199, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 199, страница 74.

Условие.

199. 1) $(x-1)^2 + 7 > (x+4)^2;$

2) $(1+x)^2 + 3x^2 < (2x-1)^2 + 7;$

3) $(x+3)(x-2) \ge (x+2)(x-3);$

4) $(x+1)(x-4)+4 \ge (x+2)(x-3)-x.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-1)^2+7>(x+4)^2$
Для решения данного неравенства раскроем скобки, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 + 7 > x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$
$x^2 - 2x + 1 + 7 > x^2 + 8x + 16$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$x^2 - 2x + 8 > x^2 + 8x + 16$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.
$x^2 - 2x - x^2 - 8x > 16 - 8$
$-10x > 8$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -10. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{8}{-10}$
$x < -0.8$
Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.

2) $(1+x)^2+3x^2<(2x-1)^2+7$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства, используя формулы сокращенного умножения.
$1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 + 3x^2 < (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 + 7$
$1 + 2x + x^2 + 3x^2 < 4x^2 - 4x + 1 + 7$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$4x^2 + 2x + 1 < 4x^2 - 4x + 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.
$4x^2 + 2x - 4x^2 + 4x < 8 - 1$
$6x < 7$
Разделим обе части неравенства на 6:
$x < \frac{7}{6}$
$x < 1\frac{1}{6}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{6})$.

3) $(x+3)(x-2) \ge (x+2)(x-3)$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства путем перемножения многочленов.
$x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) \ge x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3)$
$x^2 - 2x + 3x - 6 \ge x^2 - 3x + 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 + x - 6 \ge x^2 - x - 6$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства.
$x^2 + x - 6 - x^2 + x + 6 \ge 0$
$2x \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

4) $(x+1)(x-4)+4 \ge (x+2)(x-3)-x$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
$x^2 - 4x + x - 4 + 4 \ge x^2 - 3x + 2x - 6 - x$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$x^2 - 3x \ge x^2 - 2x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой.
$x^2 - 3x - x^2 + 2x \ge -6$
$-x \ge -6$
Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le 6$
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.