Номер 194, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 194, страница 73.

Условие.

Решить неравенство (194–195).

194. 1) $ \frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < 4x + 3 $

2) $ \frac{x}{5} - 5 > \frac{7}{4} - \frac{5x}{2} $

3) $ \frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6} < 15y - 6 $

4) $ 8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Решим неравенство $\frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < 4x + 3$.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, то есть на 10.

$10 \cdot \left(\frac{3x}{2} - \frac{3}{5}\right) < 10 \cdot (4x + 3)$

$10 \cdot \frac{3x}{2} - 10 \cdot \frac{3}{5} < 40x + 30$

$15x - 6 < 40x + 30$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой.

$15x - 40x < 30 + 6$

$-25x < 36$

Разделим обе части неравенства на -25. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{36}{-25}$

$x > -1.44$

Ответ: $(-\frac{36}{25}; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{x}{5} - 5 > 1\frac{3}{4} - \frac{5x}{2}$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x}{5} - 5 > \frac{7}{4} - \frac{5x}{2}$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 5, 4 и 2, который равен 20.

$20 \cdot \left(\frac{x}{5} - 5\right) > 20 \cdot \left(\frac{7}{4} - \frac{5x}{2}\right)$

$20 \cdot \frac{x}{5} - 20 \cdot 5 > 20 \cdot \frac{7}{4} - 20 \cdot \frac{5x}{2}$

$4x - 100 > 35 - 50x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$4x + 50x > 35 + 100$

$54x > 135$

Разделим обе части на 54 и сократим полученную дробь.

$x > \frac{135}{54} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

$x > 2.5$

Ответ: $(\frac{5}{2}; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6} < 15y - 6$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 2 и 6, который равен 6.

$6 \cdot \left(\frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6}\right) < 6 \cdot (15y - 6)$

$3(4 - 3y) - (8y + 1) < 90y - 36$

Раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед второй дробью.

$12 - 9y - 8y - 1 < 90y - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$11 - 17y < 90y - 36$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую.

$11 + 36 < 90y + 17y$

$47 < 107y$

Разделим обе части на 107.

$\frac{47}{107} < y$, или $y > \frac{47}{107}$

Ответ: $(\frac{47}{107}; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3}$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 3, который равен 12.

$12 \cdot \left(8 + \frac{3y - 2}{4}\right) > 12 \cdot \left(\frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3}\right)$

$12 \cdot 8 + 12 \cdot \frac{3y - 2}{4} > 12 \cdot \frac{y - 1}{6} - 12 \cdot \frac{5y + 4}{3}$

$96 + 3(3y - 2) > 2(y - 1) - 4(5y + 4)$

Раскроем скобки.

$96 + 9y - 6 > 2y - 2 - 20y - 16$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства.

$90 + 9y > -18y - 18$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$9y + 18y > -18 - 90$

$27y > -108$

Разделим обе части на 27.

$y > \frac{-108}{27}$

$y > -4$

Ответ: $(-4; +\infty)$.