Номер 196, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 196, страница 74.

Условие.

196. 1) При каких $a$ значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$?

2) При каких $b$ значение дроби $\frac{b+3}{2}$ меньше значения дроби $\frac{b-1}{5}$?

3) При каких $x$ значение дроби $\frac{3x-5}{6}$ больше значения разности дробей $\frac{6x-7}{15}$ и $\frac{3-x}{9}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы найти значения $a$, при которых значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$, составим и решим неравенство:

$\frac{a}{3} > \frac{a+1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12. Для этого умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 - положительное число, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot \frac{a}{3} > 12 \cdot \frac{a+1}{4}$

$4a > 3(a+1)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$4a > 3a + 3$

Перенесем слагаемые, содержащие $a$, в левую часть:

$4a - 3a > 3$

$a > 3$

Таким образом, значение дроби $\frac{a}{3}$ больше значения дроби $\frac{a+1}{4}$ при всех $a$, больших 3.

Ответ: $a > 3$.

2) Чтобы найти значения $b$, при которых значение дроби $\frac{b+3}{2}$ меньше значения дроби $\frac{b-1}{5}$, составим и решим неравенство:

$\frac{b+3}{2} < \frac{b-1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot \frac{b+3}{2} < 10 \cdot \frac{b-1}{5}$

$5(b+3) < 2(b-1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5b + 15 < 2b - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$5b - 2b < -2 - 15$

$3b < -17$

Разделим обе части на 3:

$b < -\frac{17}{3}$

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $b < -5\frac{2}{3}$.

Ответ: $b < -\frac{17}{3}$.

3) Чтобы найти значения $x$, при которых значение дроби $\frac{3x-5}{6}$ больше значения разности дробей $\frac{6x-7}{15}$ и $\frac{3-x}{9}$, составим и решим неравенство:

$\frac{3x-5}{6} > \frac{6x-7}{15} - \frac{3-x}{9}$

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 6, 15 и 9. $НОК(6, 15, 9) = 90$. Умножим все члены неравенства на 90:

$90 \cdot \frac{3x-5}{6} > 90 \cdot \frac{6x-7}{15} - 90 \cdot \frac{3-x}{9}$

$15(3x-5) > 6(6x-7) - 10(3-x)$

Раскроем скобки:

$45x - 75 > 36x - 42 - 30 + 10x$

Приведем подобные слагаемые в правой части неравенства:

$45x - 75 > (36x+10x) + (-42-30)$

$45x - 75 > 46x - 72$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$-75 + 72 > 46x - 45x$

$-3 > x$

Запишем это в более привычном виде:

$x < -3$

Ответ: $x < -3$.