Номер 195, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 195, страница 74.

Условие.

195. 1) $\frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2};$

2) $\frac{x-4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x+1}{4};$

3) $\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4};$

4) $\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим неравенство $\frac{x+1}{2} - 2x \le \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2}$.

Для того, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3), которое равно 6. Знак неравенства при этом не изменится.

$6 \cdot (\frac{x+1}{2} - 2x) \le 6 \cdot (\frac{x-2}{3} + \frac{x}{2})$

$3(x+1) - 12x \le 2(x-2) + 3x$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 12x \le 2x - 4 + 3x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$-9x + 3 \le 5x - 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 + 4 \le 5x + 9x$

$7 \le 14x$

Разделим обе части неравенства на 14:

$\frac{7}{14} \le x$

$x \ge \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-4}{3} + 3x \ge \frac{x}{3} - \frac{x+1}{4}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (3, 4) равно 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot (\frac{x-4}{3} + 3x) \ge 12 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{x+1}{4})$

$4(x-4) + 36x \ge 4x - 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$4x - 16 + 36x \ge 4x - 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$40x - 16 \ge x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$40x - x \ge 16 - 3$

$39x \ge 13$

Разделим обе части на 39:

$x \ge \frac{13}{39}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (2, 5, 4) равно 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot (\frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5}) > 20 \cdot (\frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4})$

$10(2x-1) - 4(2x) > 4(3x-2) - 5x$

Раскроем скобки:

$20x - 10 - 8x > 12x - 8 - 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$12x - 10 > 7x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12x - 7x > 10 - 8$

$5x > 2$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{2}{5}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{5}, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей (4, 2, 3, 5) равно 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$60 \cdot (\frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2}) < 60 \cdot (\frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5})$

$15(3x+1) - 30x < 20(5x-2) + 12(3x)$

Раскроем скобки:

$45x + 15 - 30x < 100x - 40 + 36x$

Приведем подобные слагаемые:

$15x + 15 < 136x - 40$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 + 40 < 136x - 15x$

$55 < 121x$

Разделим обе части на 121:

$\frac{55}{121} < x$

Сократим дробь на 11:

$x > \frac{5}{11}$

Ответ: $x \in (\frac{5}{11}, +\infty)$.