Номер 189, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 189, страница 73.

Условие.

189. 1) $3(x+1) \le x+5;$

2) $4(x-1) \ge 5+x;$

3) $2(x-3)+4 < x-2;$

4) $x+2 < 3(x+2)-4;$

5) $\frac{x-1}{3} \ge \frac{2x-3}{5};$

6) $\frac{3x-2}{4} \ge \frac{2x-1}{3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим неравенство $3(x + 1) \le x + 5$.
Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$3x + 3 \le x + 5$.
Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$3x - x \le 5 - 3$.
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$2x \le 2$.
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x \le 1$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

2) Решим неравенство $4(x - 1) \ge 5 + x$.
Раскроем скобки в левой части:
$4x - 4 \ge 5 + x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$4x - x \ge 5 + 4$.
Упростим обе части:
$3x \ge 9$.
Разделим обе части на 3 (положительное число, знак неравенства сохраняется):
$x \ge 3$.
Решением является промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2(x - 3) + 4 < x - 2$.
Раскроем скобки и упростим левую часть:
$2x - 6 + 4 < x - 2$;
$2x - 2 < x - 2$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$2x - x < -2 + 2$.
Приведем подобные слагаемые:
$x < 0$.
Решением является промежуток $(-\infty, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

4) Решим неравенство $x + 2 < 3(x + 2) - 4$.
Раскроем скобки в правой части:
$x + 2 < 3x + 6 - 4$.
Упростим правую часть:
$x + 2 < 3x + 2$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$2 - 2 < 3x - x$.
Упростим обе части:
$0 < 2x$.
Разделим обе части на 2:
$0 < x$, что эквивалентно $x > 0$.
Решением является промежуток $(0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{x-1}{3} \ge \frac{2x-3}{5}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15. Так как 15 > 0, знак неравенства не изменится.
$15 \cdot \frac{x-1}{3} \ge 15 \cdot \frac{2x-3}{5}$.
$5(x-1) \ge 3(2x-3)$.
Раскроем скобки:
$5x - 5 \ge 6x - 9$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-5 + 9 \ge 6x - 5x$.
Упростим:
$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$.
Решением является промежуток $(-\infty, 4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

6) Решим неравенство $\frac{3x-2}{4} \ge \frac{2x-1}{3}$.
Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Знак неравенства сохранится, так как 12 > 0.
$12 \cdot \frac{3x-2}{4} \ge 12 \cdot \frac{2x-1}{3}$.
$3(3x-2) \ge 4(2x-1)$.
Раскроем скобки:
$9x - 6 \ge 8x - 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$9x - 8x \ge -4 + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x \ge 2$.
Решением является промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in [2, +\infty)$.