Номер 3, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 3, страница 72.

Условие.

3. Установить, при каких значениях $x$ верно неравенство:

1) $12x \le 0;$

2) $9x > 0;$

3) $-5x < 0;$

4) $-6x \ge 0;$

5) $3x^2 + 1 > 0;$

6) $7x^2 + 5 \ge 0;$

7) $(x - 8)^2 > 0;$

8) $(3 + x)^2 \le 0.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $12x \le 0$

Чтобы решить это линейное неравенство, разделим обе его части на 12. Поскольку 12 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \le \frac{0}{12}$

$x \le 0$

Решение можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty, 0]$.

Ответ: $x \le 0$.

2) $9x > 0$

Разделим обе части неравенства на 9. Знак неравенства не меняется, так как 9 > 0.

$x > \frac{0}{9}$

$x > 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: $x > 0$.

3) $-5x < 0$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с "<" на ">").

$x > \frac{0}{-5}$

$x > 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: $x > 0$.

4) $-6x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с "$\ge$" на "$\le$").

$x \le \frac{0}{-6}$

$x \le 0$

Решение в виде промежутка: $x \in (-\infty, 0]$.

Ответ: $x \le 0$.

5) $3x^2 + 1 > 0$

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Прибавив 1, получаем $3x^2 + 1 \ge 1$.

Так как $1 > 0$, то неравенство $3x^2 + 1 > 0$ верно при любом значении $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

6) $7x^2 + 5 \ge 0$

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.

Умножая на 7, получаем $7x^2 \ge 0$.

Прибавляя 5, получаем $7x^2 + 5 \ge 5$.

Поскольку $5 \ge 0$, исходное неравенство $7x^2 + 5 \ge 0$ справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

7) $(x-8)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x-8)^2 \ge 0$.

Неравенство является строгим ($>0$), поэтому мы должны исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x-8)^2 = 0$ при $x-8 = 0$, то есть при $x=8$.

Таким образом, неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=8$.

Решение в виде промежутков: $x \in (-\infty, 8) \cup (8, +\infty)$.

Ответ: $x \ne 8$.

8) $(3+x)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(3+x)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, неравенство $(3+x)^2 \le 0$ может быть верным только в том случае, если левая часть равна нулю.

$(3+x)^2 = 0$

$3+x=0$

$x=-3$

При $x=-3$ неравенство превращается в $0 \le 0$, что является верным. При всех других значениях $x$ левая часть будет строго положительной.

Ответ: $x = -3$.