Номер 4, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 12. Решение неравенств. Глава 2. Неравенства - номер 4, страница 72.

Условие.

4. Сформулировать алгоритм решения неравенств.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения неравенств, особенно рациональных, дробно-рациональных и содержащих модули, наиболее универсальным является обобщенный метод интервалов. Алгоритм решения неравенств с помощью этого метода состоит из следующих шагов:

1. Привести неравенство к стандартному виду. Все члены неравенства переносятся в левую часть, чтобы справа остался ноль. Неравенство принимает один из следующих видов: $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$. Это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Это особенно важно для дробей (знаменатель не равен нулю), корней четной степени (подкоренное выражение неотрицательно), логарифмов (аргумент положителен, основание положительно и не равно единице) и т.д.
3. Найти нули функции $f(x)$. Для этого нужно решить уравнение $f(x) = 0$. Корни этого уравнения — это точки, в которых функция может поменять свой знак.
4. Найти точки разрыва функции $f(x)$. Это точки, в которых функция не определена, но в окрестности которых она существует. Для дробно-рациональных функций это нули знаменателя. Нули функции и точки разрыва вместе называются критическими точками.
5. Нанести критические точки на числовую ось. Эти точки разбивают ось на интервалы знакопостоянства функции.
   • Если неравенство строгое ($>$ или $<$), все критические точки на оси отмечаются «выколотыми» (пустыми кружками).
   • Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули функции отмечаются «закрашенными» (сплошными точками), так как они являются частью решения. Точки разрыва всегда отмечаются «выколотыми», поскольку функция в них не определена.
6. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую «пробную» точку из каждого интервала, подставить ее в функцию $f(x)$ и определить знак полученного значения («+» или «−»). Знак отмечается над соответствующим интервалом.
7. Выбрать интервалы и записать ответ. На основе знака в исходном неравенстве выбрать подходящие интервалы.
   • Для неравенств $f(x) > 0$ или $f(x) \ge 0$ выбираются интервалы со знаком «+».
   • Для неравенств $f(x) < 0$ или $f(x) \le 0$ выбираются интервалы со знаком «−».
   Решение записывается как объединение этих интервалов. При записи ответа для выколотых точек используются круглые скобки $()$, а для закрашенных — квадратные $[]$.

Пример применения алгоритма

Решим неравенство $\frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4} \le 0$.

1. Стандартный вид. Неравенство уже находится в стандартном виде $f(x) \le 0$, где $f(x) = \frac{x^2 - 8x + 12}{x - 4}$.
2. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
3. Нули функции. Приравниваем числитель к нулю: $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
4. Точки разрыва. Приравниваем знаменатель к нулю: $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$.
5. Нанесение точек на ось. У нас есть три критические точки: 2, 4, 6. Так как неравенство нестрогое ($\le$), нули функции $x=2$ и $x=6$ будут закрашенными точками. Точка разрыва $x=4$ — выколотой.
6. Определение знаков.
   • Интервал $(6, +\infty)$: берем $x=10$. $f(10) = \frac{100 - 80 + 12}{10 - 4} = \frac{32}{6} > 0$. Знак «+».
   • Интервал $(4, 6)$: берем $x=5$. $f(5) = \frac{25 - 40 + 12}{5 - 4} = \frac{-3}{1} < 0$. Знак «−».
   • Интервал $(2, 4)$: берем $x=3$. $f(3) = \frac{9 - 24 + 12}{3 - 4} = \frac{-3}{-1} > 0$. Знак «+».
   • Интервал $(-\infty, 2)$: берем $x=0$. $f(0) = \frac{12}{-4} = -3 < 0$. Знак «−».
   На числовой оси знаки распределяются следующим образом: $(-\infty, 2] \rightarrow «-»$; $[2, 4) \rightarrow «+»$; $(4, 6] \rightarrow «-»$; $[6, +\infty) \rightarrow «+»$.
7. Запись ответа. Нам нужно решить $f(x) \le 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «−». Это $(-\infty, 2]$ и $(4, 6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (4; 6]$