Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

187. 1) $12x > -36;$

2) $-7x \leq 56;$

3) $\frac{y}{4} \leq 7;$

4) $-5 < \frac{z}{3};$

5) $7.2z > -27;$

6) $-4.5x \geq 9.$

1) Дано неравенство $12x > -36$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > \frac{-36}{12}$
$x > -3$
Решением является интервал $(-3; +\infty)$.
Ответ: $x > -3$.

2) Дано неравенство $-7x \le 56$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -7. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $\le$ меняется на противоположный, то есть на $\ge$.
$x \ge \frac{56}{-7}$
$x \ge -8$
Решением является промежуток $[-8; +\infty)$.
Ответ: $x \ge -8$.

3) Дано неравенство $\frac{y}{4} \le 7$.
Чтобы найти $y$, умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$y \le 7 \cdot 4$
$y \le 28$
Решением является промежуток $(-\infty; 28]$.
Ответ: $y \le 28$.

4) Дано неравенство $-5 < \frac{z}{3}$.
Для удобства прочтения можно записать неравенство как $\frac{z}{3} > -5$. Чтобы найти $z$, умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$z > -5 \cdot 3$
$z > -15$
Решением является интервал $(-15; +\infty)$.
Ответ: $z > -15$.

5) Дано неравенство $7,2z > -27$.
Чтобы найти $z$, разделим обе части неравенства на 7,2. Так как 7,2 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$z > \frac{-27}{7,2}$
$z > -\frac{270}{72}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 27:
$z > -\frac{10}{2.66...}$ это неверно. Сократим на 9:
$z > -\frac{270 \div 9}{72 \div 9} = -\frac{30}{8}$
Сократим еще на 2:
$z > -\frac{15}{4}$
$z > -3,75$
Решением является интервал $(-3,75; +\infty)$.
Ответ: $z > -3,75$.

6) Дано неравенство $-4,5x \ge 9$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4,5. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства $\ge$ меняется на противоположный, то есть на $\le$.
$x \le \frac{9}{-4,5}$
$x \le -\frac{90}{45}$
$x \le -2$
Решением является промежуток $(-\infty; -2]$.
Ответ: $x \le -2$.

Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой (188—189).

188. 1) $2x - 16 > 0;$

2) $18 - 3x > 0;$

3) $3x - 15 < 0;$

4) $25 - 5x < 0;$

5) $9 - 3x \ge 0;$

6) $2x + 4 \le 0.$

1) $2x - 16 > 0$
Чтобы решить это линейное неравенство, сначала перенесем свободный член (-16) в правую часть, изменив его знак на противоположный:
$2x > 16$
Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x > \frac{16}{2}$
$x > 8$
Решением являются все числа, строго большие 8. На координатной прямой это интервал, который начинается от 8 (не включая само число) и уходит вправо до плюс бесконечности. Точка 8 изображается "выколотой" (пустым кружком).

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

2) $18 - 3x > 0$
Перенесем 18 в правую часть с противоположным знаком:
$-3x > -18$
Разделим обе части на -3. Важно: при делении или умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный (в данном случае $ > $ на $ < $):
$x < \frac{-18}{-3}$
$x < 6$
Решением являются все числа, строго меньшие 6. На координатной прямой это интервал от минус бесконечности до 6. Точка 6 "выколота".

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

3) $3x - 15 < 0$
Перенесем -15 в правую часть:
$3x < 15$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется:
$x < \frac{15}{3}$
$x < 5$
Решением являются все числа, строго меньшие 5. На координатной прямой это интервал от минус бесконечности до 5. Точка 5 "выколота".

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

4) $25 - 5x < 0$
Перенесем 25 в правую часть:
$-5x < -25$
Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства на противоположный (с $ < $ на $ > $):
$x > \frac{-25}{-5}$
$x > 5$
Решением являются все числа, строго большие 5. На координатной прямой точка 5 "выколота", а заштрихованная область находится справа от нее.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

5) $9 - 3x \geq 0$
Перенесем 9 в правую часть:
$-3x \geq -9$
Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный (с $ \geq $ на $ \leq $):
$x \leq \frac{-9}{-3}$
$x \leq 3$
Решением являются все числа, меньшие или равные 3. На координатной прямой это интервал от минус бесконечности до 3 включительно. Точка 3 изображается "закрашенной" (сплошным кружком), так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

6) $2x + 4 \leq 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$2x \leq -4$
Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:
$x \leq \frac{-4}{2}$
$x \leq -2$
Решением являются все числа, меньшие или равные -2. На координатной прямой точка -2 "закрашенная", а заштрихованная область находится слева от нее.

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

189. 1) $3(x+1) \le x+5;$

2) $4(x-1) \ge 5+x;$

3) $2(x-3)+4 < x-2;$

4) $x+2 < 3(x+2)-4;$

5) $\frac{x-1}{3} \ge \frac{2x-3}{5};$

6) $\frac{3x-2}{4} \ge \frac{2x-1}{3}.$

1) Решим неравенство $3(x + 1) \le x + 5$.
Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:
$3x + 3 \le x + 5$.
Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$3x - x \le 5 - 3$.
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$2x \le 2$.
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x \le 1$.
Решением неравенства является промежуток $(-\infty, 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

2) Решим неравенство $4(x - 1) \ge 5 + x$.
Раскроем скобки в левой части:
$4x - 4 \ge 5 + x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$4x - x \ge 5 + 4$.
Упростим обе части:
$3x \ge 9$.
Разделим обе части на 3 (положительное число, знак неравенства сохраняется):
$x \ge 3$.
Решением является промежуток $[3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2(x - 3) + 4 < x - 2$.
Раскроем скобки и упростим левую часть:
$2x - 6 + 4 < x - 2$;
$2x - 2 < x - 2$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$2x - x < -2 + 2$.
Приведем подобные слагаемые:
$x < 0$.
Решением является промежуток $(-\infty, 0)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

4) Решим неравенство $x + 2 < 3(x + 2) - 4$.
Раскроем скобки в правой части:
$x + 2 < 3x + 6 - 4$.
Упростим правую часть:
$x + 2 < 3x + 2$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$2 - 2 < 3x - x$.
Упростим обе части:
$0 < 2x$.
Разделим обе части на 2:
$0 < x$, что эквивалентно $x > 0$.
Решением является промежуток $(0, +\infty)$.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{x-1}{3} \ge \frac{2x-3}{5}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15. Так как 15 > 0, знак неравенства не изменится.
$15 \cdot \frac{x-1}{3} \ge 15 \cdot \frac{2x-3}{5}$.
$5(x-1) \ge 3(2x-3)$.
Раскроем скобки:
$5x - 5 \ge 6x - 9$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-5 + 9 \ge 6x - 5x$.
Упростим:
$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$.
Решением является промежуток $(-\infty, 4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

6) Решим неравенство $\frac{3x-2}{4} \ge \frac{2x-1}{3}$.
Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, то есть на 12. Знак неравенства сохранится, так как 12 > 0.
$12 \cdot \frac{3x-2}{4} \ge 12 \cdot \frac{2x-1}{3}$.
$3(3x-2) \ge 4(2x-1)$.
Раскроем скобки:
$9x - 6 \ge 8x - 4$.
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$9x - 8x \ge -4 + 6$.
Приведем подобные слагаемые:
$x \ge 2$.
Решением является промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $x \in [2, +\infty)$.

190. Выяснить, при каких значениях x выражение принимает положительные значения:

1) $\frac{3}{8}x + 4$;

2) $\frac{5}{2} - 4x$;

3) $2(x + 3) + 3x$;

4) $3(x - 5) - 8x$;

5) $\frac{1}{3} - 2(x + 4)$;

6) $\frac{1}{2} - 3(x - 5)$.

Для того чтобы выяснить, при каких значениях $x$ каждое из выражений принимает положительные значения, необходимо решить соответствующее неравенство вида "выражение > 0".

1) $\frac{3}{8}x + 4$

Решим неравенство:

$\frac{3}{8}x + 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть неравенства, изменив знак:

$\frac{3}{8}x > -4$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{8}{3}$. Так как $\frac{8}{3} > 0$, знак неравенства не изменится:

$x > -4 \cdot \frac{8}{3}$

$x > -\frac{32}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x > -10\frac{2}{3}$

Ответ: при $x > -10\frac{2}{3}$.

2) $\frac{5}{2} - 4x$

Решим неравенство:

$\frac{5}{2} - 4x > 0$

Перенесем $\frac{5}{2}$ в правую часть:

$-4x > -\frac{5}{2}$

Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-\frac{5}{2}}{-4}$

$x < \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$x < \frac{5}{8}$

Ответ: при $x < \frac{5}{8}$.

3) $2(x+3) + 3x$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$2(x+3) + 3x = 2x + 6 + 3x = 5x + 6$

Теперь решим неравенство:

$5x + 6 > 0$

$5x > -6$

$x > -\frac{6}{5}$

$x > -1,2$

Ответ: при $x > -1,2$.

4) $3(x-5) - 8x$

Упростим выражение:

$3(x-5) - 8x = 3x - 15 - 8x = -5x - 15$

Решим неравенство:

$-5x - 15 > 0$

$-5x > 15$

Разделим обе части на -5 и изменим знак неравенства:

$x < \frac{15}{-5}$

$x < -3$

Ответ: при $x < -3$.

5) $\frac{1}{3} - 2(x+4)$

Упростим выражение:

$\frac{1}{3} - 2(x+4) = \frac{1}{3} - 2x - 8 = -2x + (\frac{1}{3} - \frac{24}{3}) = -2x - \frac{23}{3}$

Решим неравенство:

$-2x - \frac{23}{3} > 0$

$-2x > \frac{23}{3}$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства:

$x < \frac{\frac{23}{3}}{-2}$

$x < -\frac{23}{6}$

$x < -3\frac{5}{6}$

Ответ: при $x < -3\frac{5}{6}$.

6) $\frac{1}{2} - 3(x-5)$

Упростим выражение:

$\frac{1}{2} - 3(x-5) = \frac{1}{2} - 3x + 15 = -3x + (\frac{1}{2} + \frac{30}{2}) = -3x + \frac{31}{2}$

Решим неравенство:

$-3x + \frac{31}{2} > 0$

$-3x > -\frac{31}{2}$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства:

$x < \frac{-\frac{31}{2}}{-3}$

$x < \frac{31}{6}$

$x < 5\frac{1}{6}$

Ответ: при $x < 5\frac{1}{6}$.

191. Выяснить, при каких значениях y выражение принимает отрицательные значения:

1) $5 - \frac{2}{3}y$;

2) $\frac{3}{4} - 2y$;

3) $\frac{y-2}{3} + \frac{1}{3}$;

4) $\frac{8y-3}{5} - \frac{2}{5}$;

5) $\frac{3y-5}{2} - \frac{y}{2}$;

6) $\frac{4-5y}{6} - \frac{y}{6}$.

1) Чтобы выражение $5 - \frac{2}{3}y$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$5 - \frac{2}{3}y < 0$
Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:
$-\frac{2}{3}y < -5$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{2}{3}y > 5$
Чтобы найти $y$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:
$y > 5 \cdot \frac{3}{2}$
$y > \frac{15}{2}$
$y > 7.5$
Ответ: $y > 7.5$.

2) Чтобы выражение $\frac{3}{4} - 2y$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{3}{4} - 2y < 0$
Перенесем $\frac{3}{4}$ в правую часть:
$-2y < -\frac{3}{4}$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$2y > \frac{3}{4}$
Разделим обе части на 2:
$y > \frac{3}{4 \cdot 2}$
$y > \frac{3}{8}$
Ответ: $y > \frac{3}{8}$.

3) Чтобы выражение $\frac{y-2}{3} + \frac{1}{3}$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{y-2}{3} + \frac{1}{3} < 0$
Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$\frac{y-2+1}{3} < 0$
$\frac{y-1}{3} < 0$
Умножим обе части неравенства на 3. Так как 3 > 0, знак неравенства не меняется:
$y-1 < 0$
Перенесем -1 в правую часть:
$y < 1$
Ответ: $y < 1$.

4) Чтобы выражение $\frac{8y-3}{5} - \frac{2}{5}$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{8y-3}{5} - \frac{2}{5} < 0$
Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание в числителе:
$\frac{8y-3-2}{5} < 0$
$\frac{8y-5}{5} < 0$
Умножим обе части на 5:
$8y-5 < 0$
Перенесем -5 в правую часть:
$8y < 5$
Разделим обе части на 8:
$y < \frac{5}{8}$
Ответ: $y < \frac{5}{8}$.

5) Чтобы выражение $\frac{3y-5}{2} - \frac{y}{2}$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{3y-5}{2} - \frac{y}{2} < 0$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{3y-5-y}{2} < 0$
$\frac{2y-5}{2} < 0$
Умножим обе части на 2:
$2y-5 < 0$
Перенесем -5 в правую часть:
$2y < 5$
Разделим обе части на 2:
$y < \frac{5}{2}$
$y < 2.5$
Ответ: $y < 2.5$.

6) Чтобы выражение $\frac{4-5y}{6} - \frac{y}{6}$ принимало отрицательные значения, оно должно быть меньше нуля. Составим и решим неравенство:
$\frac{4-5y}{6} - \frac{y}{6} < 0$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{4-5y-y}{6} < 0$
$\frac{4-6y}{6} < 0$
Умножим обе части на 6:
$4-6y < 0$
Перенесем 4 в правую часть:
$-6y < -4$
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$6y > 4$
Разделим обе части на 6:
$y > \frac{4}{6}$
Сократим дробь:
$y > \frac{2}{3}$
Ответ: $y > \frac{2}{3}$.

192. Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $4(y-1)<2+7y$;

2) $4y-9>3(y-2)$;

3) $3(x-2)-2x<4x+1$;

4) $6x+1\geq2(x-1)-3x$.

1) $4(y-1) < 2 + 7y$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$4y - 4 < 2 + 7y$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие переменную, в одну часть неравенства, а постоянные слагаемые — в другую. Перенесем $4y$ вправо, а 2 влево, не забывая менять знаки при переносе:

$-4 - 2 < 7y - 4y$

Выполним вычисления в обеих частях:

$-6 < 3y$

Разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$-2 < y$, или, что то же самое, $y > -2$.

Мы ищем наименьшее целое число, которое является решением. Целые числа, которые больше -2, это -1, 0, 1, 2 и так далее. Наименьшее из них — это -1.

Ответ: -1

2) $4y - 9 > 3(y - 2)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$4y - 9 > 3y - 6$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$4y - 3y > -6 + 9$

Упростим обе части:

$y > 3$

Решением являются все числа, которые строго больше 3. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 4.

Ответ: 4

3) $3(x - 2) - 2x < 4x + 1$

Сначала раскроем скобки и упростим левую часть неравенства:

$3x - 6 - 2x < 4x + 1$

$(3x - 2x) - 6 < 4x + 1$

$x - 6 < 4x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть (например, вправо), а постоянные — в другую (влево):

$-6 - 1 < 4x - x$

Упростим обе части:

$-7 < 3x$

Разделим обе части на 3:

$-\frac{7}{3} < x$, или $x > -2\frac{1}{3}$.

Мы ищем наименьшее целое число, которое больше, чем $-2\frac{1}{3}$. На числовой прямой это первое целое число справа от $-2\frac{1}{3}$, то есть -2.

Ответ: -2

4) $6x + 1 \ge 2(x - 1) - 3x$

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства:

$6x + 1 \ge 2x - 2 - 3x$

$6x + 1 \ge (2x - 3x) - 2$

$6x + 1 \ge -x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$6x + x \ge -2 - 1$

Упростим обе части:

$7x \ge -3$

Разделим обе части на 7:

$x \ge -\frac{3}{7}$

Решением являются все числа, которые больше или равны $-\frac{3}{7}$ (это примерно -0.43). Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 0.

Ответ: 0

193. Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства:

1) $5 - 2x > 0;$

2) $6x + 5 \le 0;$

3) $3(1 - x) > 2(2 - x);$

4) $4(2 - x) < 5(1 - x).$

1) Решим неравенство $5 - 2x > 0$.

Перенесем $-2x$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$5 > 2x$

Теперь разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{5}{2} > x$

Это неравенство можно записать в более привычном виде: $x < 2.5$.

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому условию. Целые числа, которые меньше 2.5, это 2, 1, 0, -1, и так далее. Наибольшим из этих чисел является 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $6x + 5 \leq 0$.

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$6x \leq -5$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется, так как 6 — положительное число:

$x \leq -\frac{5}{6}$

Дробь $-\frac{5}{6}$ находится между -1 и 0 (примерно -0.83). Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше или равно $-\frac{5}{6}$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -1, -2, -3 и так далее. Наибольшим из них является -1.

Ответ: -1

3) Решим неравенство $3(1 - x) > 2(2 - x)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3 \cdot 1 - 3 \cdot x > 2 \cdot 2 - 2 \cdot x$

$3 - 3x > 4 - 2x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ в левую часть, а 3 — в правую:

$-3x + 2x > 4 - 3$

Упростим обе части:

$-x > 1$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -1$

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое строго меньше -1. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -2, -3, -4 и так далее. Наибольшим из них является -2.

Ответ: -2

4) Решим неравенство $4(2 - x) < 5(1 - x)$.

Раскроем скобки в обеих частях:

$4 \cdot 2 - 4 \cdot x < 5 \cdot 1 - 5 \cdot x$

$8 - 4x < 5 - 5x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$-4x + 5x < 5 - 8$

Упростим обе части:

$x < -3$

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое строго меньше -3. Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это -4, -5, -6 и так далее. Наибольшим из них является -4.

Ответ: -4

Решить неравенство (194–195).

194. 1) $ \frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < 4x + 3 $

2) $ \frac{x}{5} - 5 > \frac{7}{4} - \frac{5x}{2} $

3) $ \frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6} < 15y - 6 $

4) $ 8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3} $

1)

Решим неравенство $\frac{3x}{2} - \frac{3}{5} < 4x + 3$.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, то есть на 10.

$10 \cdot \left(\frac{3x}{2} - \frac{3}{5}\right) < 10 \cdot (4x + 3)$

$10 \cdot \frac{3x}{2} - 10 \cdot \frac{3}{5} < 40x + 30$

$15x - 6 < 40x + 30$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой.

$15x - 40x < 30 + 6$

$-25x < 36$

Разделим обе части неравенства на -25. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{36}{-25}$

$x > -1.44$

Ответ: $(-\frac{36}{25}; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{x}{5} - 5 > 1\frac{3}{4} - \frac{5x}{2}$.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{x}{5} - 5 > \frac{7}{4} - \frac{5x}{2}$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 5, 4 и 2, который равен 20.

$20 \cdot \left(\frac{x}{5} - 5\right) > 20 \cdot \left(\frac{7}{4} - \frac{5x}{2}\right)$

$20 \cdot \frac{x}{5} - 20 \cdot 5 > 20 \cdot \frac{7}{4} - 20 \cdot \frac{5x}{2}$

$4x - 100 > 35 - 50x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$4x + 50x > 35 + 100$

$54x > 135$

Разделим обе части на 54 и сократим полученную дробь.

$x > \frac{135}{54} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$

$x > 2.5$

Ответ: $(\frac{5}{2}; +\infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6} < 15y - 6$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 2 и 6, который равен 6.

$6 \cdot \left(\frac{4 - 3y}{2} - \frac{8y + 1}{6}\right) < 6 \cdot (15y - 6)$

$3(4 - 3y) - (8y + 1) < 90y - 36$

Раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед второй дробью.

$12 - 9y - 8y - 1 < 90y - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$11 - 17y < 90y - 36$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую.

$11 + 36 < 90y + 17y$

$47 < 107y$

Разделим обе части на 107.

$\frac{47}{107} < y$, или $y > \frac{47}{107}$

Ответ: $(\frac{47}{107}; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $8 + \frac{3y - 2}{4} > \frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3}$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 3, который равен 12.

$12 \cdot \left(8 + \frac{3y - 2}{4}\right) > 12 \cdot \left(\frac{y - 1}{6} - \frac{5y + 4}{3}\right)$

$12 \cdot 8 + 12 \cdot \frac{3y - 2}{4} > 12 \cdot \frac{y - 1}{6} - 12 \cdot \frac{5y + 4}{3}$

$96 + 3(3y - 2) > 2(y - 1) - 4(5y + 4)$

Раскроем скобки.

$96 + 9y - 6 > 2y - 2 - 20y - 16$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства.

$90 + 9y > -18y - 18$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$9y + 18y > -18 - 90$

$27y > -108$

Разделим обе части на 27.

$y > \frac{-108}{27}$

$y > -4$

Ответ: $(-4; +\infty)$.