Номер 223, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 223, страница 82.

Условие.

223. На одной координатной плоскости изображены графики двух линейных функций (рис. 17). Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения обеих функций одновременно положительны; отрицательны.

а) б) в)

г) Рис. 17

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо определить, на каких интервалах оси $x$ графики обеих функций находятся одновременно выше оси абсцисс (значения $y$ положительны) и на каких — одновременно ниже оси абсцисс (значения $y$ отрицательны). Точки пересечения графиков с осью $x$ являются границами этих интервалов.

а)
Первая функция (верхний график) пересекает ось $x$ в точке $x = -3$. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x > -3$ и отрицательны ($y < 0$) при $x < -3$.
Вторая функция (нижний график) пересекает ось $x$ в точке $x = 1$. Значения функции положительны ($y > 0$) при $x > 1$ и отрицательны ($y < 0$) при $x < 1$.
Чтобы найти, где обе функции положительны, решим систему неравенств: $x > -3$ и $x > 1$. Общим решением является $x > 1$.
Чтобы найти, где обе функции отрицательны, решим систему неравенств: $x < -3$ и $x < 1$. Общим решением является $x < -3$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (1, +\infty)$; обе функции отрицательны при $x \in (-\infty, -3)$.

б)
Первая функция (график с положительным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -3$. Она положительна при $x > -3$ и отрицательна при $x < -3$.
Вторая функция (график с отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 1$. Она положительна при $x < 1$ и отрицательна при $x > 1$.
Обе функции положительны, когда одновременно выполняются условия $x > -3$ и $x < 1$. Это соответствует интервалу $-3 < x < 1$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно выполняются условия $x < -3$ и $x > 1$. Такая система неравенств не имеет решений, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше $-3$ и больше $1$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-3, 1)$; значений $x$, при которых обе функции отрицательны, не существует.

в)
Первая функция (с более крутым отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -1$. Она положительна при $x < -1$ и отрицательна при $x > -1$.
Вторая функция (с более пологим отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 4$. Она положительна при $x < 4$ и отрицательна при $x > 4$.
Обе функции положительны, когда одновременно $x < -1$ и $x < 4$. Общим решением является $x < -1$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно $x > -1$ и $x > 4$. Общим решением является $x > 4$.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-\infty, -1)$; обе функции отрицательны при $x \in (4, +\infty)$.

г)
Первая функция (с положительным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = -5$. Она положительна при $x > -5$ и отрицательна при $x < -5$.
Вторая функция (с отрицательным наклоном) пересекает ось $x$ в точке $x = 0$. Она положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$.
Обе функции положительны, когда одновременно $x > -5$ и $x < 0$. Это соответствует интервалу $-5 < x < 0$.
Обе функции отрицательны, когда одновременно $x < -5$ и $x > 0$. Эта система неравенств не имеет решений.
Ответ: обе функции положительны при $x \in (-5, 0)$; значений $x$, при которых обе функции отрицательны, не существует.