Номер 222, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 222, страница 82.

Условие.

222. На одной координатной плоскости построить графики функций $y=-2x-2$ и $y=2-\frac{x}{2}$. Отметить на оси абсцисс множество значений $x$, при которых значения обеих функций:

1) положительны;

2) отрицательны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи сначала построим графики заданных функций $y = -2x - 2$ и $y = 2 - \frac{x}{2}$ на одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики — прямые. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Для функции $y = -2x - 2$:

• Если $x = 0$, то $y = -2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = -2x - 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1$. Точка $(-1, 0)$.

2. Для функции $y = 2 - \frac{x}{2}$:

• Если $x = 0$, то $y = 2 - \frac{0}{2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $y = 0$, то $0 = 2 - \frac{x}{2} \implies \frac{x}{2} = 2 \implies x = 4$. Точка $(4, 0)$.

После построения графиков (прямая $y = -2x - 2$ проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -2)$, а прямая $y = 2 - \frac{x}{2}$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$), мы можем найти требуемые множества значений $x$ аналитически, решив соответствующие неравенства.

1) положительны

Значения обеих функций положительны, когда $y > 0$. Это соответствует системе неравенств:

$$ \begin{cases} -2x - 2 > 0 \\ 2 - \frac{x}{2} > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $-2x - 2 > 0 \implies -2x > 2$. Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x < -1$.

2) $2 - \frac{x}{2} > 0 \implies 2 > \frac{x}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 > x$, или $x < 4$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений: $x < -1$ и $x < 4$. Общим решением является $x < -1$.

Это множество значений $x$ на оси абсцисс можно записать в виде интервала $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1)$.

2) отрицательны

Значения обеих функций отрицательны, когда $y < 0$. Это соответствует системе неравенств:

$$ \begin{cases} -2x - 2 < 0 \\ 2 - \frac{x}{2} < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $-2x - 2 < 0 \implies -2x < 2$. Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x > -1$.

2) $2 - \frac{x}{2} < 0 \implies 2 < \frac{x}{2}$. Умножим обе части на 2: $4 < x$, или $x > 4$.

Теперь найдем пересечение этих двух решений: $x > -1$ и $x > 4$. Общим решением является $x > 4$.

Это множество значений $x$ на оси абсцисс можно записать в виде интервала $(4; +\infty)$.

Ответ: $(4; +\infty)$.