Номер 220, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 220, страница 82.

Условие.

220. Имеют ли общие точки отрезок $[2; 3]$ и интервал $(1; 4)$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы определить, имеют ли общие точки отрезок $[2; 3]$ и интервал $(1; 4)$, необходимо найти их пересечение.

Отрезок $[2; 3]$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется неравенство $2 \le x \le 3$. Квадратные скобки означают, что концы отрезка, числа 2 и 3, включены в это множество.

Интервал $(1; 4)$ представляет собой множество всех действительных чисел $x$, для которых выполняется строгое неравенство $1 < x < 4$. Круглые скобки означают, что концы интервала, числа 1 и 4, не включены в это множество.

Общие точки — это те числа, которые принадлежат и отрезку, и интервалу одновременно. Для этого число $x$ должно удовлетворять обоим условиям: $2 \le x \le 3$ и $1 < x < 4$.

Рассмотрим любое число $x$ из отрезка $[2; 3]$. Для него выполняется двойное неравенство $2 \le x \le 3$. Проверим, выполняется ли для такого числа условие принадлежности интервалу $(1; 4)$:

1. Так как $x \ge 2$, то оно гарантированно больше 1 ($x > 1$).

2. Так как $x \le 3$, то оно гарантированно меньше 4 ($x < 4$).

Оба условия выполняются. Таким образом, любое число из отрезка $[2; 3]$ также удовлетворяет условию $1 < x < 4$, а значит, принадлежит и интервалу $(1; 4)$. Это означает, что весь отрезок $[2; 3]$ полностью содержится внутри интервала $(1; 4)$.

Пересечением этих двух множеств является сам отрезок $[2; 3]$: $$ [2; 3] \cap (1; 4) = [2; 3] $$

Поскольку пересечение не является пустым множеством, у отрезка и интервала есть общие точки. Например, число 2.5 принадлежит как отрезку $[2; 3]$ (так как $2 \le 2.5 \le 3$), так и интервалу $(1; 4)$ (так как $1 < 2.5 < 4$).

Ответ: да, имеют. Множеством их общих точек является отрезок $[2; 3]$.