Номер 1, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 13. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки. Глава 2. Неравенства - номер 1, страница 80.

Условие.

1. Что называют решением системы неравенств с одним неизвестным?

Решение 3.

Решение 4.

1.

Решением системы неравенств с одним неизвестным называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Другими словами, чтобы некоторое число было решением системы, оно должно быть решением каждого неравенства, входящего в эту систему. Множество всех таких решений образует множество решений системы. Соответственно, решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их не существует.

Множество решений системы неравенств является пересечением множеств решений каждого из входящих в неё неравенств.

Пример:

Рассмотрим систему неравенств с переменной $x$: $$ \begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ 5x \le 20 \end{cases} $$

Для её решения найдём множество решений для каждого неравенства в отдельности.
1. Решим первое неравенство: $3x - 9 > 0$.
Перенесём 9 в правую часть: $3x > 9$.
Разделим обе части на 3: $x > 3$.
Решением этого неравенства является числовой промежуток $(3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $5x \le 20$.
Разделим обе части на 5: $x \le 4$.
Решением этого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 4]$.

Теперь необходимо найти пересечение этих двух множеств, то есть найти все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 3$ и $x \le 4$.
Пересечением промежутков $(3; +\infty)$ и $(-\infty; 4]$ является полуинтервал $(3; 4]$.
$ (3; +\infty) \cap (-\infty; 4] = (3; 4] $

Это и есть множество решений системы. Любое число из этого промежутка, например $x=4$, будет решением системы, так как при его подстановке оба неравенства становятся верными:
$3 \cdot 4 - 9 > 0 \implies 12 - 9 > 0 \implies 3 > 0$ (верно).
$5 \cdot 4 \le 20 \implies 20 \le 20$ (верно).

Ответ: Решением системы неравенств с одним неизвестным называют значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы одновременно.