Страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

245. (Устно.) Найти модуль числа:

1) $23$;

2) $4.7$;

3) $\frac{2}{7}$;

4) $-47$;

5) $-2.1$;

6) $-\frac{3}{8}$.

Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Модуль числа не может быть отрицательным.

Правило нахождения модуля числа $a$ определяется следующим образом:

• Если число $a$ положительное или равно нулю ($a \ge 0$), то его модуль равен самому числу: $|a| = a$.
• Если число $a$ отрицательное ($a < 0$), то его модуль равен противоположному ему положительному числу: $|a| = -a$.

Найдем модули для каждого из заданных чисел.

1)

Дано число 23. Это положительное число, следовательно, его модуль равен самому числу.

$|23| = 23$

Ответ: 23

2)

Дано число 4,7. Это положительное число, следовательно, его модуль равен самому числу.

$|4,7| = 4,7$

Ответ: 4,7

3)

Дана дробь $\frac{2}{7}$. Это положительное число, следовательно, его модуль равен самому числу.

$|\frac{2}{7}| = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

4)

Дано число -47. Это отрицательное число, следовательно, его модуль равен противоположному ему положительному числу.

$|-47| = 47$

Ответ: 47

5)

Дано число -2,1. Это отрицательное число, следовательно, его модуль равен противоположному ему положительному числу.

$|-2,1| = 2,1$

Ответ: 2,1

6)

Дана дробь $-\frac{3}{8}$. Это отрицательное число, следовательно, его модуль равен противоположному ему положительному числу.

$|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

Решить уравнение (246—249).

246.

1) $|x|=2,5$;

2) $|x|=1,5$;

3) $|x-1|=2$;

4) $|x+3|=3$.

1) Дано уравнение $|x| = 2,5$.

По определению модуля, если $|a| = b$ и $b \ge 0$, то $a = b$ или $a = -b$.

В данном случае уравнение $|x| = 2,5$ равносильно совокупности двух уравнений:

$x = 2,5$ или $x = -2,5$.

Ответ: -2,5; 2,5.

2) Дано уравнение $|x| = 1,5$.

Аналогично предыдущему пункту, уравнение $|x| = 1,5$ равносильно совокупности:

$x = 1,5$ или $x = -1,5$.

Ответ: -1,5; 1,5.

3) Дано уравнение $|x - 1| = 2$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

1) $x - 1 = 2$

$x = 2 + 1$

$x = 3$

2) $x - 1 = -2$

$x = -2 + 1$

$x = -1$

Корнями уравнения являются числа -1 и 3.

Ответ: -1; 3.

4) Дано уравнение $|x + 3| = 3$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

1) $x + 3 = 3$

$x = 3 - 3$

$x = 0$

2) $x + 3 = -3$

$x = -3 - 3$

$x = -6$

Корнями уравнения являются числа -6 и 0.

Ответ: -6; 0.

247. 1) $|x+4|=0;$

2) $|x-2|=0;$

3) $|2x-3|=0;$

4) $|3-4x|=0.$

1) $|x+4|=0$

Модуль (абсолютное значение) выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Исходя из этого свойства, чтобы решить данное уравнение, необходимо приравнять подмодульное выражение к нулю.

$x+4=0$

Для нахождения $x$, перенесем число 4 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$x = -4$

Проверка: $|-4+4|=|0|=0$. Равенство верно.

Ответ: $-4$

2) $|x-2|=0$

Аналогично предыдущему случаю, приравниваем выражение внутри модуля к нулю.

$x-2=0$

Переносим -2 в правую часть уравнения, меняя знак:

$x = 2$

Проверка: $|2-2|=|0|=0$. Равенство верно.

Ответ: $2$

3) $|2x-3|=0$

Приравниваем подмодульное выражение к нулю, чтобы найти корень уравнения.

$2x-3=0$

Сначала перенесем -3 в правую часть уравнения:

$2x = 3$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{3}{2}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $x=1.5$.

Проверка: $|2 \cdot \frac{3}{2} - 3| = |3-3|=|0|=0$. Равенство верно.

Ответ: $\frac{3}{2}$

4) $|3-4x|=0$

И в этом случае, чтобы модуль был равен нулю, выражение под знаком модуля должно быть равно нулю.

$3-4x=0$

Перенесем 3 в правую часть уравнения:

$-4x = -3$

Разделим обе части уравнения на -4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-3}{-4}$

$x = \frac{3}{4}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $x=0.75$.

Проверка: $|3 - 4 \cdot \frac{3}{4}| = |3-3|=|0|=0$. Равенство верно.

Ответ: $\frac{3}{4}$

248. 1) $|3x - 5| = 5;$

2) $|4x + 3| = 2;$

3) $|\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}| = \frac{1}{3};$

4) $|\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{4}.$

1) $|3x-5|=5$

По определению модуля, выражение под знаком модуля может быть равно 5 или -5. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $3x-5 = 5$

$3x = 5+5$

$3x = 10$

$x_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

2. $3x-5 = -5$

$3x = -5+5$

$3x = 0$

$x_2 = 0$

Ответ: $0; 3\frac{1}{3}$.

2) $|4x+3|=2$

Данное уравнение равносильно двум случаям:

1. $4x+3 = 2$

$4x = 2-3$

$4x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{4}$

2. $4x+3 = -2$

$4x = -2-3$

$4x = -5$

$x_2 = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$

Ответ: $-1\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}$.

3) $|\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}| = \frac{1}{3}$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных уравнения:

1. $\frac{2}{3}x + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3}x = \frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{6}$

$x_1 = \frac{1}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

2. $\frac{2}{3}x + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3}x = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = (-\frac{1}{2}) \div \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}; \frac{1}{4}$.

4) $|\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{4}$

Это уравнение с модулем также распадается на два случая:

1. $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{3}{4}$

$x_1 = 1$

2. $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}x = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$\frac{3}{4}x = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.

249. 1) $|-x|=3,4;$

2) $|-x|=2,1;$

3) $|5-x|=5;$

4) $|3-x|=8;$

5) $|4-5x|=5;$

6) $|3-4x|=3.$

1) $|-x| = 3,4$

По определению модуля, $|-a| = |a|$. Поэтому исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

$|x| = 3,4$

Уравнение вида $|x| = b$ (где $b \ge 0$) имеет два корня: $x=b$ и $x=-b$.

Следовательно, $x_1 = 3,4$ и $x_2 = -3,4$.

Ответ: $-3,4; 3,4$.

2) $|-x| = 2,1$

Используем свойство модуля $|-a| = |a|$:

$|x| = 2,1$

Это уравнение имеет два решения:

$x_1 = 2,1$

$x_2 = -2,1$

Ответ: $-2,1; 2,1$.

3) $|5 - x| = 5$

Уравнение с модулем такого вида равносильно двум уравнениям:

1) $5 - x = 5$

$-x = 5 - 5$

$-x = 0$

$x_1 = 0$

2) $5 - x = -5$

$-x = -5 - 5$

$-x = -10$

$x_2 = 10$

Ответ: $0; 10$.

4) $|3 - x| = 8$

Данное уравнение распадается на два случая:

1) $3 - x = 8$

$-x = 8 - 3$

$-x = 5$

$x_1 = -5$

2) $3 - x = -8$

$-x = -8 - 3$

$-x = -11$

$x_2 = 11$

Ответ: $-5; 11$.

5) $|4 - 5x| = 5$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных варианта:

1) $4 - 5x = 5$

$-5x = 5 - 4$

$-5x = 1$

$x_1 = -\frac{1}{5} = -0,2$

2) $4 - 5x = -5$

$-5x = -5 - 4$

$-5x = -9$

$x_2 = \frac{-9}{-5} = \frac{9}{5} = 1,8$

Ответ: $-0,2; 1,8$.

6) $|3 - 4x| = 3$

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $3 - 4x = 3$

$-4x = 3 - 3$

$-4x = 0$

$x_1 = 0$

2) $3 - 4x = -3$

$-4x = -3 - 3$

$-4x = -6$

$x_2 = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: $0; 1,5$.

250. Изобразить на координатной прямой множество решений неравенства:

1) $|x|<5;$

2) $|x|\le 4;$

3) $|x|\ge 3;$

4) $|x|>2.$

1)

Неравенство с модулем вида $|x| < a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) меньше, чем $a$. Это равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.

Применительно к данному случаю, неравенство $|x| < 5$ эквивалентно $-5 < x < 5$.

Множество решений этого неравенства — это все числа, расположенные на координатной прямой между -5 и 5. Поскольку неравенство строгое, сами точки -5 и 5 в решение не входят. На координатной прямой эти точки обозначаются выколотыми (пустыми) кружками, а промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: $x \in (-5; 5)$. На координатной прямой это интервал между точками -5 и 5, не включая сами точки.

2)

Неравенство с модулем вида $|x| \le a$ (где $a \ge 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) меньше или равно $a$. Это равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

В данном случае неравенство $|x| \le 4$ эквивалентно $-4 \le x \le 4$.

Множество решений — это все числа, расположенные на координатной прямой между -4 и 4 включительно. Поскольку неравенство нестрогое, точки -4 и 4 входят в решение. На координатной прямой эти точки обозначаются закрашенными (сплошными) кружками, а промежуток между ними, включая эти точки, заштриховывается.

Ответ: $x \in [-4; 4]$. На координатной прямой это отрезок от -4 до 4, включая концы.

3)

Неравенство с модулем вида $|x| \ge a$ (где $a \ge 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) больше или равно $a$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x \le -a$ или $x \ge a$.

Для неравенства $|x| \ge 3$ получаем совокупность: $x \le -3$ или $x \ge 3$.

Множество решений состоит из двух промежутков. На координатной прямой это два луча. Точки -3 и 3 включаются в решение, так как неравенство нестрогое, и обозначаются закрашенными кружками. Один луч идет от 3 вправо (до $+\infty$), а другой — от -3 влево (до $-\infty$).

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$. На координатной прямой это два луча: от $-\infty$ до -3 включительно и от 3 включительно до $+\infty$.

4)

Неравенство с модулем вида $|x| > a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) строго больше, чем $a$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x < -a$ или $x > a$.

Для неравенства $|x| > 2$ получаем совокупность: $x < -2$ или $x > 2$.

Множество решений состоит из двух интервалов. На координатной прямой это два открытых луча. Точки -2 и 2 не включаются в решение, так как неравенство строгое, и обозначаются выколотыми кружками. Один луч идет от 2 вправо (до $+\infty$), а другой — от -2 влево (до $-\infty$).

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$. На координатной прямой это два открытых луча: от $-\infty$ до -2 (не включая -2) и от 2 (не включая 2) до $+\infty$.

251. Записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства:

1) $|x| \le 3;$

2) $|x| < 2;$

3) $|x - 1| < 5;$

4) $|3x + 2| \le 4.$

Чтобы записать неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ или $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) в виде двойного неравенства, используется следующее правило:
$|f(x)| \le a$ равносильно $-a \le f(x) \le a$.
$|f(x)| < a$ равносильно $-a < f(x) < a$.

1) Дано неравенство $|x| \le 3$.
Это неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $f(x) = x$ и $a = 3$.
Применяя правило, получаем двойное неравенство:
$-3 \le x \le 3$.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.

2) Дано неравенство $|x| < 2$.
Это неравенство вида $|f(x)| < a$, где $f(x) = x$ и $a = 2$.
Применяя правило, получаем двойное неравенство:
$-2 < x < 2$.
Ответ: $-2 < x < 2$.

3) Дано неравенство $|x - 1| < 5$.
Это неравенство вида $|f(x)| < a$, где $f(x) = x - 1$ и $a = 5$.
Запишем его в виде двойного неравенства:
$-5 < x - 1 < 5$.
Чтобы найти решение для $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-5 + 1 < x - 1 + 1 < 5 + 1$.
$-4 < x < 6$.
Ответ: $-4 < x < 6$.

4) Дано неравенство $|3x + 2| \le 4$.
Это неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $f(x) = 3x + 2$ и $a = 4$.
Запишем его в виде двойного неравенства:
$-4 \le 3x + 2 \le 4$.
Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$. Сначала вычтем 2 из всех частей:
$-4 - 2 \le 3x + 2 - 2 \le 4 - 2$.
$-6 \le 3x \le 2$.
Затем разделим все части на 3:
$\frac{-6}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{2}{3}$.
$-2 \le x \le \frac{2}{3}$.
Ответ: $-2 \le x \le \frac{2}{3}$.

252. Двойное неравенство записать в виде одного неравенства с модулем:

1) $ -3,1 < x < 3,1; $

2) $ -0,3 \leq x \leq 0,3; $

3) $ -8 \leq 3x < 8. $

Для преобразования двойного неравенства вида $-a < x < a$ или $-a \le x \le a$ (где $a > 0$) в неравенство с модулем используется свойство модуля:

• Неравенство $|x| < a$ равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.
• Неравенство $|x| \le a$ равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

Это правило означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше (или меньше либо равно) $a$.

1) Дано двойное неравенство $-3,1 < x < 3,1$.
Это неравенство симметрично относительно нуля. В данном случае $a = 3,1$. Так как неравенство строгое (используются знаки $<$), мы применяем правило для строгого неравенства.
Ответ: $|x| < 3,1$.

2) Дано двойное неравенство $-0,3 \le x \le 0,3$.
Это неравенство также симметрично относительно нуля, и здесь $a = 0,3$. Так как неравенство нестрогое (используются знаки $\le$), мы применяем правило для нестрогого неравенства.
Ответ: $|x| \le 0,3$.

3) Дано двойное неравенство $-8 \le 3x < 8$.
В этом случае в центре неравенства находится выражение $3x$. Промежуток для $3x$ задан от $-8$ до $8$, то есть он симметричен относительно нуля. Это позволяет использовать запись с модулем. Неравенство означает, что расстояние от значения $3x$ до нуля на числовой прямой не должно превышать 8. Рассмотрим крайние точки промежутка. Левая граница $3x = -8$ включена в решение, и её модуль равен $|-8| = 8$. Правая граница $3x = 8$ не включена. Все значения $3x$ внутри этого интервала имеют модуль меньше 8. Таким образом, для любой точки из промежутка $[-8, 8)$ выполняется условие, что её модуль меньше или равен 8. Следовательно, мы можем записать это в виде нестрогого неравенства с модулем.
Ответ: $|3x| \le 8$.

Решить неравенство (253—256).

253.

1) $ |1+x| \le 0,3; $

2) $ |2+x| < 0,2; $

3) $ |x+0,5| < 1,5; $

4) $ |1-x| < \frac{3}{4}; $

5) $ |3-x| \le \frac{2}{3}; $

6) $ |\frac{1}{3}+x| \le \frac{2}{3}. $

1) $|1+x| \le 0,3$

Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству. Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) эквивалентно $-b \le a \le b$.

Применим это правило:

$-0,3 \le 1+x \le 0,3$

Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-0,3 - 1 \le 1+x - 1 \le 0,3 - 1$

$-1,3 \le x \le -0,7$

Решением является числовой промежуток (отрезок) от -1,3 до -0,7, включая концы.

Ответ: $x \in [-1,3; -0,7]$.

2) $|2+x| < 0,2$

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

В нашем случае:

$-0,2 < 2+x < 0,2$

Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-0,2 - 2 < 2+x - 2 < 0,2 - 2$

$-2,2 < x < -1,8$

Решением является интервал от -2,2 до -1,8.

Ответ: $x \in (-2,2; -1,8)$.

3) $|x+0,5| < 1,5$

Раскрываем модуль, переходя к двойному неравенству:

$-1,5 < x+0,5 < 1,5$

Вычтем 0,5 из всех частей неравенства:

$-1,5 - 0,5 < x+0,5 - 0,5 < 1,5 - 0,5$

$-2 < x < 1$

Решением является интервал от -2 до 1.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

4) $|1-x| < \frac{3}{4}$

Запишем неравенство в виде двойного неравенства:

$-\frac{3}{4} < 1-x < \frac{3}{4}$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{3}{4} - 1 < 1-x-1 < \frac{3}{4} - 1$

$-\frac{3}{4} - \frac{4}{4} < -x < \frac{3}{4} - \frac{4}{4}$

$-\frac{7}{4} < -x < -\frac{1}{4}$

Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{7}{4} > x > \frac{1}{4}$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$\frac{1}{4} < x < \frac{7}{4}$

Решением является интервал от $\frac{1}{4}$ до $\frac{7}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{7}{4})$.

5) $|3-x| \le \frac{2}{3}$

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le 3-x \le \frac{2}{3}$

Вычтем 3 из всех частей:

$-\frac{2}{3} - 3 \le 3-x-3 \le \frac{2}{3} - 3$

$-\frac{2}{3} - \frac{9}{3} \le -x \le \frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-\frac{11}{3} \le -x \le -\frac{7}{3}$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$\frac{11}{3} \ge x \ge \frac{7}{3}$

Запишем в стандартном порядке:

$\frac{7}{3} \le x \le \frac{11}{3}$

Решением является отрезок от $\frac{7}{3}$ до $\frac{11}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{3}; \frac{11}{3}]$.

6) $|\frac{1}{3}+x| \le \frac{2}{3}$

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le \frac{1}{3}+x \le \frac{2}{3}$

Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \le \frac{1}{3}+x-\frac{1}{3} \le \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

$-\frac{3}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

Упростим левую часть:

$-1 \le x \le \frac{1}{3}$

Решением является отрезок от -1 до $\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-1; \frac{1}{3}]$.

254. 1) $|3x - 4| < 5;$

2) $|2x + 3| < 3;$

3) $|2x + 1| \le -3;$

4) $|5 - 4x| \le 1;$

5) $|2 - 3x| \le 2;$

6) $|3x + 7| \le -2.$

1)

Дано неравенство $|3x - 4| < 5$.
Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
В нашем случае $a = 3x - 4$ и $b = 5$.
Получаем двойное неравенство: $-5 < 3x - 4 < 5$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы изолировать выражение с $x$ в центре:
$-5 + 4 < 3x - 4 + 4 < 5 + 4$
$-1 < 3x < 9$
Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:
$\frac{-1}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{9}{3}$
$-\frac{1}{3} < x < 3$
Решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}, 3)$.

2)

Дано неравенство $|2x + 3| < 3$.
Это неравенство также имеет вид $|a| < b$ (где $b > 0$), что равносильно $-b < a < b$.
Здесь $a = 2x + 3$ и $b = 3$.
Запишем соответствующее двойное неравенство: $-3 < 2x + 3 < 3$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-3 - 3 < 2x + 3 - 3 < 3 - 3$
$-6 < 2x < 0$
Разделим все части на 2:
$\frac{-6}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{0}{2}$
$-3 < x < 0$
Решение в виде интервала.
Ответ: $x \in (-3, 0)$.

3)

Дано неравенство $|2x + 1| \le -3$.
По определению, модуль любого действительного числа (или выражения) является неотрицательной величиной. То есть, $|2x + 1| \ge 0$ для любого значения $x$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательная величина $|2x + 1|$ была меньше или равна отрицательному числу $-3$.
Это невозможно ни при каких значениях $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

4)

Дано неравенство $|5 - 4x| \le 1$.
Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.
В данном случае $a = 5 - 4x$ и $b = 1$.
Получаем: $-1 \le 5 - 4x \le 1$.
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le 5 - 4x - 5 \le 1 - 5$
$-6 \le -4x \le -4$
Теперь разделим все части на $-4$. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-6}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{-4}{-4}$
$\frac{3}{2} \ge x \ge 1$
Запишем это в более привычном виде, поменяв части местами:
$1 \le x \le \frac{3}{2}$
Решение можно записать в виде отрезка.
Ответ: $x \in [1, \frac{3}{2}]$.

5)

Дано неравенство $|2 - 3x| \le 2$.
Используем правило для неравенств вида $|a| \le b$, которое равносильно $-b \le a \le b$.
Здесь $a = 2 - 3x$ и $b = 2$.
Записываем двойное неравенство: $-2 \le 2 - 3x \le 2$.
Вычитаем 2 из всех частей:
$-2 - 2 \le 2 - 3x - 2 \le 2 - 2$
$-4 \le -3x \le 0$
Делим все части на $-3$ и меняем знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-4}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{0}{-3}$
$\frac{4}{3} \ge x \ge 0$
Перепишем в стандартном виде:
$0 \le x \le \frac{4}{3}$
Решение в виде отрезка.
Ответ: $x \in [0, \frac{4}{3}]$.

6)

Дано неравенство $|3x + 7| \le -2$.
Модуль выражения $|3x + 7|$ по определению всегда больше или равен нулю: $|3x + 7| \ge 0$ для любых $x$.
Неравенство утверждает, что это неотрицательное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу $-2$.
Такое условие не может быть выполнено ни для какого действительного числа $x$.
Таким образом, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений.

255. 1) $ |x+1|>1,3; $

2) $ |x-2|\ge1,1; $

3) $ |1-x|\ge\frac{1}{2}; $

4) $ |3-x|>\frac{2}{3}. $

1) Решим неравенство $|x+1| > 1,3$.

Неравенство с модулем вида $|A| > B$, где $B>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В данном случае $A = x+1$ и $B = 1,3$. Следовательно, мы решаем совокупность:

$x+1 > 1,3$ или $x+1 < -1,3$.

Решим первое неравенство:

$x > 1,3 - 1$

$x > 0,3$

Решим второе неравенство:

$x < -1,3 - 1$

$x < -2,3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,3) \cup (0,3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x-2| \ge 1,1$.

Неравенство с модулем вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

В данном случае $A = x-2$ и $B = 1,1$. Получаем совокупность:

$x-2 \ge 1,1$ или $x-2 \le -1,1$.

Решим первое неравенство:

$x \ge 1,1 + 2$

$x \ge 3,1$

Решим второе неравенство:

$x \le -1,1 + 2$

$x \le 0,9$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,9] \cup [3,1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $|1-x| \ge \frac{1}{2}$.

Данное неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности $A \ge B$ или $A \le -B$.

Здесь $A = 1-x$ и $B = \frac{1}{2}$. Получаем совокупность неравенств:

$1-x \ge \frac{1}{2}$ или $1-x \le -\frac{1}{2}$.

Решим первое неравенство:

$-x \ge \frac{1}{2} - 1$

$-x \ge -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство:

$-x \le -\frac{1}{2} - 1$

$-x \le -\frac{3}{2}$

Умножим обе части на -1, снова меняя знак неравенства:

$x \ge \frac{3}{2}$

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

4) Решим неравенство $|3-x| > \frac{2}{3}$.

Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности неравенств $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае $A = 3-x$ и $B = \frac{2}{3}$. Составляем совокупность:

$3-x > \frac{2}{3}$ или $3-x < -\frac{2}{3}$.

Решим первое неравенство:

$-x > \frac{2}{3} - 3$

$-x > \frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-x > -\frac{7}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x < \frac{7}{3}$

Решим второе неравенство:

$-x < -\frac{2}{3} - 3$

$-x < -\frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-x < -\frac{11}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x > \frac{11}{3}$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3}) \cup (\frac{11}{3}; +\infty)$.