Номер 254, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 254, страница 95.

Условие.

254. 1) $|3x - 4| < 5;$

2) $|2x + 3| < 3;$

3) $|2x + 1| \le -3;$

4) $|5 - 4x| \le 1;$

5) $|2 - 3x| \le 2;$

6) $|3x + 7| \le -2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дано неравенство $|3x - 4| < 5$.
Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
В нашем случае $a = 3x - 4$ и $b = 5$.
Получаем двойное неравенство: $-5 < 3x - 4 < 5$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства, чтобы изолировать выражение с $x$ в центре:
$-5 + 4 < 3x - 4 + 4 < 5 + 4$
$-1 < 3x < 9$
Разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$:
$\frac{-1}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{9}{3}$
$-\frac{1}{3} < x < 3$
Решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}, 3)$.

2)

Дано неравенство $|2x + 3| < 3$.
Это неравенство также имеет вид $|a| < b$ (где $b > 0$), что равносильно $-b < a < b$.
Здесь $a = 2x + 3$ и $b = 3$.
Запишем соответствующее двойное неравенство: $-3 < 2x + 3 < 3$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-3 - 3 < 2x + 3 - 3 < 3 - 3$
$-6 < 2x < 0$
Разделим все части на 2:
$\frac{-6}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{0}{2}$
$-3 < x < 0$
Решение в виде интервала.
Ответ: $x \in (-3, 0)$.

3)

Дано неравенство $|2x + 1| \le -3$.
По определению, модуль любого действительного числа (или выражения) является неотрицательной величиной. То есть, $|2x + 1| \ge 0$ для любого значения $x$.
Неравенство требует, чтобы неотрицательная величина $|2x + 1|$ была меньше или равна отрицательному числу $-3$.
Это невозможно ни при каких значениях $x$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

4)

Дано неравенство $|5 - 4x| \le 1$.
Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.
В данном случае $a = 5 - 4x$ и $b = 1$.
Получаем: $-1 \le 5 - 4x \le 1$.
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le 5 - 4x - 5 \le 1 - 5$
$-6 \le -4x \le -4$
Теперь разделим все части на $-4$. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-6}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{-4}{-4}$
$\frac{3}{2} \ge x \ge 1$
Запишем это в более привычном виде, поменяв части местами:
$1 \le x \le \frac{3}{2}$
Решение можно записать в виде отрезка.
Ответ: $x \in [1, \frac{3}{2}]$.

5)

Дано неравенство $|2 - 3x| \le 2$.
Используем правило для неравенств вида $|a| \le b$, которое равносильно $-b \le a \le b$.
Здесь $a = 2 - 3x$ и $b = 2$.
Записываем двойное неравенство: $-2 \le 2 - 3x \le 2$.
Вычитаем 2 из всех частей:
$-2 - 2 \le 2 - 3x - 2 \le 2 - 2$
$-4 \le -3x \le 0$
Делим все части на $-3$ и меняем знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-4}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{0}{-3}$
$\frac{4}{3} \ge x \ge 0$
Перепишем в стандартном виде:
$0 \le x \le \frac{4}{3}$
Решение в виде отрезка.
Ответ: $x \in [0, \frac{4}{3}]$.

6)

Дано неравенство $|3x + 7| \le -2$.
Модуль выражения $|3x + 7|$ по определению всегда больше или равен нулю: $|3x + 7| \ge 0$ для любых $x$.
Неравенство утверждает, что это неотрицательное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу $-2$.
Такое условие не может быть выполнено ни для какого действительного числа $x$.
Таким образом, у неравенства нет решений.
Ответ: нет решений.