Номер 260, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 260, страница 96.

Условие.

260. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $|x+3|=x+3;$

2) $|x-2|=2-x?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $|x+3|=x+3$

Данное равенство является частным случаем уравнения вида $|a| = a$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|a| = a$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неотрицательным.

В нашем случае подмодульное выражение — это $x+3$. Следовательно, равенство будет выполняться при условии:

$x + 3 \ge 0$

Решим это простое линейное неравенство, вычтя 3 из обеих частей:

$x \ge -3$

Таким образом, равенство выполняется для всех значений $x$, которые больше или равны -3.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

2) $|x-2|=2-x$

Заметим, что правая часть равенства $2-x$ является противоположным выражением для подмодульного выражения $x-2$. То есть, $2-x = -(x-2)$.

Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде:

$|x-2| = -(x-2)$

Данное равенство является частным случаем уравнения вида $|a| = -a$.

По определению абсолютной величины, равенство $|a| = -a$ справедливо тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неположительным.

В нашем случае подмодульное выражение — это $x-2$. Следовательно, равенство будет выполняться при условии:

$x - 2 \le 0$

Решим это неравенство, прибавив 2 к обеим частям:

$x \le 2$

Таким образом, равенство выполняется для всех значений $x$, которые меньше или равны 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.