Номер 263, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 263, страница 96.

Условие.

263. Доказать, что:

1) $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ при любых $a$ и $b$;

2) $|a^n| = |a|^n$ при любом $a$ и любом натуральном $n$;

3) $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ при любом $a$ и любом $b \neq 0$;

4) $|a^n| = a^n$ при любом $a$, если $n$ — чётное натуральное число;

5) $|a^n| = -a^n$, если $a \leq 0$ и $n$ — нечётное натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для доказательства равенства $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ необходимо рассмотреть все возможные случаи знаков чисел $a$ и $b$.
Случай 1: $a \ge 0$ и $b \ge 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \ge 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = a \cdot b$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство выполняется.
Случай 2: $a \ge 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \le 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = -ab$. С другой стороны, $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b) = -ab$. Равенство выполняется.
Случай 3: $a < 0$ и $b \ge 0$. В этом случае произведение $a \cdot b \le 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = -ab$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot b = -ab$. Равенство выполняется.
Случай 4: $a < 0$ и $b < 0$. В этом случае произведение $a \cdot b > 0$. По определению модуля, $|a \cdot b| = a \cdot b$. С другой стороны, $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = ab$. Равенство выполняется.
Так как равенство верно для всех возможных комбинаций знаков $a$ и $b$, оно доказано для любых $a$ и $b$.
Ответ: Равенство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ доказано.

2) Докажем равенство $|a^n| = |a|^n$ при любом $a$ и любом натуральном $n$ методом математической индукции.
База индукции (n=1): При $n=1$ левая часть равенства равна $|a^1| = |a|$, а правая часть равна $|a|^1 = |a|$. Так как $|a| = |a|$, равенство верно для $n=1$.
Шаг индукции: Предположим, что равенство $|a^k| = |a|^k$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. Докажем, что оно верно и для $n = k+1$.
Рассмотрим левую часть для $n=k+1$: $|a^{k+1}|$. Представим $a^{k+1}$ как $a^k \cdot a$. Получим $|a^k \cdot a|$.
Используя свойство модуля произведения, доказанное в пункте 1 ($|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$), имеем: $|a^k \cdot a| = |a^k| \cdot |a|$.
По предположению индукции, $|a^k| = |a|^k$. Заменим $|a^k|$ в нашем выражении: $|a|^k \cdot |a|$.
По свойству степеней, $|a|^k \cdot |a| = |a|^{k+1}$.
Таким образом, мы показали, что $|a^{k+1}| = |a|^{k+1}$. Шаг индукции доказан.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.
Ответ: Равенство $|a^n| = |a|^n$ доказано.

3) Для доказательства равенства $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ при $b \neq 0$, воспользуемся свойством модуля произведения из пункта 1.
Пусть $c = \frac{a}{b}$. Тогда из этого следует, что $a = c \cdot b$.
Возьмем модуль от обеих частей равенства $a = c \cdot b$: $|a| = |c \cdot b|$.
Согласно свойству модуля произведения $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$, мы можем переписать правую часть: $|a| = |c| \cdot |b|$.
По условию $b \neq 0$, следовательно, $|b| > 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $|b|$:
$\frac{|a|}{|b|} = |c|$.
Теперь подставим обратно $c = \frac{a}{b}$:
$\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ доказано.

4) Докажем, что $|a^n| = a^n$ при любом $a$, если $n$ — чётное натуральное число.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a \ge 0$. Если $a$ неотрицательно, то и $a^n$ будет неотрицательно при любом натуральном $n$. По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому числу. Следовательно, $|a^n| = a^n$.
Случай 2: $a < 0$. Если $a$ отрицательно, а $n$ — чётное натуральное число, то $a^n$ будет положительным. Это можно показать, представив $a$ как $(-1) \cdot |a|$. Тогда $a^n = ((-1) \cdot |a|)^n = (-1)^n \cdot |a|^n$. Так как $n$ чётно, $(-1)^n = 1$. Следовательно, $a^n = |a|^n$, что является положительным числом (поскольку $a \neq 0$).
Поскольку $a^n$ положительно, по определению модуля $|a^n| = a^n$.
Равенство выполняется в обоих случаях.
Ответ: Равенство $|a^n| = a^n$ при чётном $n$ доказано.

5) Докажем, что $|a^n| = -a^n$, если $a \le 0$ и $n$ — нечётное натуральное число.
Рассмотрим два случая для условия $a \le 0$.
Случай 1: $a = 0$. Левая часть: $|0^n| = |0| = 0$.
Правая часть: $-0^n = -0 = 0$.
Равенство $0=0$ выполняется.
Случай 2: $a < 0$. Если $a$ отрицательно, а $n$ — нечётное натуральное число, то $a^n$ будет отрицательным. Это можно показать, представив $a$ как $(-1) \cdot |a|$. Тогда $a^n = ((-1) \cdot |a|)^n = (-1)^n \cdot |a|^n$. Так как $n$ нечётно, $(-1)^n = -1$. Следовательно, $a^n = -|a|^n$, что является отрицательным числом.
По определению модуля, для любого отрицательного числа $x$ выполняется $|x| = -x$. В нашем случае роль $x$ играет $a^n$, и мы установили, что $a^n < 0$.
Следовательно, $|a^n| = -(a^n) = -a^n$.
Равенство выполняется в обоих случаях, удовлетворяющих условию.
Ответ: Равенство $|a^n| = -a^n$ при $a \le 0$ и нечётном $n$ доказано.