Номер 259, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 259, страница 96.

Условие.

259. Решить двойное неравенство, записав его в виде системы двух неравенств:

1) $-3 < 2x - 9 \leq 1$;

2) $3 \leq 3x + 1 < 5$;

3) $-4 \leq 1 - 0.2x \leq 1.2$;

4) $-3 \leq 2 + 1.5x \leq -2.5$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходное двойное неравенство: $-3 < 2x - 9 \le 1$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 2x - 9 > -3 \\ 2x - 9 \le 1 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$2x > -3 + 9$
$2x > 6$
$x > 3$
Теперь решим второе неравенство системы:
$2x \le 1 + 9$
$2x \le 10$
$x \le 5$
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть все $x$, удовлетворяющие условиям $x > 3$ и $x \le 5$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 < x \le 5$.
В виде числового промежутка решение записывается как $(3, 5]$.
Ответ: $(3, 5]$.

2) Исходное двойное неравенство: $3 \le 3x + 1 < 5$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 3x + 1 \ge 3 \\ 3x + 1 < 5 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$3x \ge 3 - 1$
$3x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{3}$
Теперь решим второе неравенство системы:
$3x < 5 - 1$
$3x < 4$
$x < \frac{4}{3}$
Решением системы является пересечение решений: $\frac{2}{3} \le x < \frac{4}{3}$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.
Ответ: $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.

3) Исходное двойное неравенство: $-4 \le 1 - 0,2x \le 1,2$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 1 - 0,2x \ge -4 \\ 1 - 0,2x \le 1,2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$-0,2x \ge -4 - 1$
$-0,2x \ge -5$
При делении на отрицательное число ($-0,2$) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-5}{-0,2}$
$x \le 25$
Теперь решим второе неравенство системы:
$-0,2x \le 1,2 - 1$
$-0,2x \le 0,2$
Снова делим на отрицательное число и меняем знак неравенства:
$x \ge \frac{0,2}{-0,2}$
$x \ge -1$
Решением системы является пересечение решений: $-1 \le x \le 25$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[-1, 25]$.
Ответ: $[-1, 25]$.

4) Исходное двойное неравенство: $-3 \le 2 + 1,5x \le -2,5$.
Запишем его в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} 2 + 1,5x \ge -3 \\ 2 + 1,5x \le -2,5 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$1,5x \ge -3 - 2$
$1,5x \ge -5$
$x \ge \frac{-5}{1,5}$
$x \ge \frac{-5}{3/2}$
$x \ge -\frac{10}{3}$
Теперь решим второе неравенство системы:
$1,5x \le -2,5 - 2$
$1,5x \le -4,5$
$x \le \frac{-4,5}{1,5}$
$x \le -3$
Решением системы является пересечение решений: $-\frac{10}{3} \le x \le -3$.
В виде числового промежутка решение записывается как $[-\frac{10}{3}, -3]$.
Ответ: $[-\frac{10}{3}, -3]$.