Номер 257, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 257, страница 96.

Условие.

257. Найти все целые значения x, при которых выполняется неравенство:

1) $ |5x - 2| < 8; $

2) $ |5x + 3| < 7; $

3) $ |5 - 3x| \leq 1; $

4) $ |3 - 4x| \leq 3. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо раскрыть неравенства с модулем и найти все целые значения x, удовлетворяющие полученным интервалам.

1) |5x-2|<8;
Неравенство вида $|a| < b$ равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Применяем это правило к нашему неравенству:
$-8 < 5x - 2 < 8$
Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-8 + 2 < 5x < 8 + 2$
$-6 < 5x < 10$
Разделим все части на 5:
$-\frac{6}{5} < x < \frac{10}{5}$
$-1.2 < x < 2$
Целые значения x, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0, 1.
Ответ: -1, 0, 1.

2) |5x+3|<7;
Раскроем модуль, как и в предыдущем случае:
$-7 < 5x + 3 < 7$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-7 - 3 < 5x < 7 - 3$
$-10 < 5x < 4$
Разделим все части на 5:
$-\frac{10}{5} < x < \frac{4}{5}$
$-2 < x < 0.8$
Целые значения x, которые принадлежат этому интервалу: -1, 0.
Ответ: -1, 0.

3) |5-3x|≤1;
Неравенство вида $|a| \le b$ равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.
Применяем это правило:
$-1 \le 5 - 3x \le 1$
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le -3x \le 1 - 5$
$-6 \le -3x \le -4$
Разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-6}{-3} \ge x \ge \frac{-4}{-3}$
$2 \ge x \ge \frac{4}{3}$
Запишем в привычном виде:
$\frac{4}{3} \le x \le 2$
$1\frac{1}{3} \le x \le 2$
Единственное целое значение x, которое принадлежит этому отрезку, это 2.
Ответ: 2.

4) |3-4x|≤3.
Раскроем модуль по тому же правилу:
$-3 \le 3 - 4x \le 3$
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-3 - 3 \le -4x \le 3 - 3$
$-6 \le -4x \le 0$
Разделим все части на -4, не забывая поменять знаки неравенства:
$\frac{-6}{-4} \ge x \ge \frac{0}{-4}$
$\frac{3}{2} \ge x \ge 0$
Запишем в привычном виде:
$0 \le x \le 1.5$
Целые значения x, которые принадлежат этому отрезку: 0, 1.
Ответ: 0, 1.