Номер 250, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 250, страница 95.

Условие.

250. Изобразить на координатной прямой множество решений неравенства:

1) $|x|<5;$

2) $|x|\le 4;$

3) $|x|\ge 3;$

4) $|x|>2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Неравенство с модулем вида $|x| < a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) меньше, чем $a$. Это равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.

Применительно к данному случаю, неравенство $|x| < 5$ эквивалентно $-5 < x < 5$.

Множество решений этого неравенства — это все числа, расположенные на координатной прямой между -5 и 5. Поскольку неравенство строгое, сами точки -5 и 5 в решение не входят. На координатной прямой эти точки обозначаются выколотыми (пустыми) кружками, а промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: $x \in (-5; 5)$. На координатной прямой это интервал между точками -5 и 5, не включая сами точки.

2)

Неравенство с модулем вида $|x| \le a$ (где $a \ge 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) меньше или равно $a$. Это равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

В данном случае неравенство $|x| \le 4$ эквивалентно $-4 \le x \le 4$.

Множество решений — это все числа, расположенные на координатной прямой между -4 и 4 включительно. Поскольку неравенство нестрогое, точки -4 и 4 входят в решение. На координатной прямой эти точки обозначаются закрашенными (сплошными) кружками, а промежуток между ними, включая эти точки, заштриховывается.

Ответ: $x \in [-4; 4]$. На координатной прямой это отрезок от -4 до 4, включая концы.

3)

Неравенство с модулем вида $|x| \ge a$ (где $a \ge 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) больше или равно $a$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x \le -a$ или $x \ge a$.

Для неравенства $|x| \ge 3$ получаем совокупность: $x \le -3$ или $x \ge 3$.

Множество решений состоит из двух промежутков. На координатной прямой это два луча. Точки -3 и 3 включаются в решение, так как неравенство нестрогое, и обозначаются закрашенными кружками. Один луч идет от 3 вправо (до $+\infty$), а другой — от -3 влево (до $-\infty$).

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; \infty)$. На координатной прямой это два луча: от $-\infty$ до -3 включительно и от 3 включительно до $+\infty$.

4)

Неравенство с модулем вида $|x| > a$ (где $a > 0$) означает, что расстояние от точки $x$ до начала координат (нуля) строго больше, чем $a$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x < -a$ или $x > a$.

Для неравенства $|x| > 2$ получаем совокупность: $x < -2$ или $x > 2$.

Множество решений состоит из двух интервалов. На координатной прямой это два открытых луча. Точки -2 и 2 не включаются в решение, так как неравенство строгое, и обозначаются выколотыми кружками. Один луч идет от 2 вправо (до $+\infty$), а другой — от -2 влево (до $-\infty$).

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$. На координатной прямой это два открытых луча: от $-\infty$ до -2 (не включая -2) и от 2 (не включая 2) до $+\infty$.