Номер 248, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 248, страница 95.

Условие.

248. 1) $|3x - 5| = 5;$

2) $|4x + 3| = 2;$

3) $|\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}| = \frac{1}{3};$

4) $|\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{4}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $|3x-5|=5$

По определению модуля, выражение под знаком модуля может быть равно 5 или -5. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $3x-5 = 5$

$3x = 5+5$

$3x = 10$

$x_1 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

2. $3x-5 = -5$

$3x = -5+5$

$3x = 0$

$x_2 = 0$

Ответ: $0; 3\frac{1}{3}$.

2) $|4x+3|=2$

Данное уравнение равносильно двум случаям:

1. $4x+3 = 2$

$4x = 2-3$

$4x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{4}$

2. $4x+3 = -2$

$4x = -2-3$

$4x = -5$

$x_2 = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$

Ответ: $-1\frac{1}{4}; -\frac{1}{4}$.

3) $|\frac{2}{3}x + \frac{1}{6}| = \frac{1}{3}$

Раскрываем модуль, рассматривая два возможных уравнения:

1. $\frac{2}{3}x + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3}x = \frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}x = \frac{1}{6}$

$x_1 = \frac{1}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

2. $\frac{2}{3}x + \frac{1}{6} = -\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}x = -\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3}x = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6}$

$\frac{2}{3}x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = (-\frac{1}{2}) \div \frac{2}{3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}; \frac{1}{4}$.

4) $|\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{4}$

Это уравнение с модулем также распадается на два случая:

1. $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{3}{4}$

$x_1 = 1$

2. $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

$\frac{3}{4}x = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 4:

$\frac{3}{4}x = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4}$

$\frac{3}{4}x = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}; 1$.