Номер 253, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 253, страница 95.

Условие.

Решить неравенство (253—256).

253.

1) $ |1+x| \le 0,3; $

2) $ |2+x| < 0,2; $

3) $ |x+0,5| < 1,5; $

4) $ |1-x| < \frac{3}{4}; $

5) $ |3-x| \le \frac{2}{3}; $

6) $ |\frac{1}{3}+x| \le \frac{2}{3}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $|1+x| \le 0,3$

Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству. Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) эквивалентно $-b \le a \le b$.

Применим это правило:

$-0,3 \le 1+x \le 0,3$

Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-0,3 - 1 \le 1+x - 1 \le 0,3 - 1$

$-1,3 \le x \le -0,7$

Решением является числовой промежуток (отрезок) от -1,3 до -0,7, включая концы.

Ответ: $x \in [-1,3; -0,7]$.

2) $|2+x| < 0,2$

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

В нашем случае:

$-0,2 < 2+x < 0,2$

Вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы выделить $x$:

$-0,2 - 2 < 2+x - 2 < 0,2 - 2$

$-2,2 < x < -1,8$

Решением является интервал от -2,2 до -1,8.

Ответ: $x \in (-2,2; -1,8)$.

3) $|x+0,5| < 1,5$

Раскрываем модуль, переходя к двойному неравенству:

$-1,5 < x+0,5 < 1,5$

Вычтем 0,5 из всех частей неравенства:

$-1,5 - 0,5 < x+0,5 - 0,5 < 1,5 - 0,5$

$-2 < x < 1$

Решением является интервал от -2 до 1.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

4) $|1-x| < \frac{3}{4}$

Запишем неравенство в виде двойного неравенства:

$-\frac{3}{4} < 1-x < \frac{3}{4}$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-\frac{3}{4} - 1 < 1-x-1 < \frac{3}{4} - 1$

$-\frac{3}{4} - \frac{4}{4} < -x < \frac{3}{4} - \frac{4}{4}$

$-\frac{7}{4} < -x < -\frac{1}{4}$

Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{7}{4} > x > \frac{1}{4}$

Запишем в стандартном виде (от меньшего к большему):

$\frac{1}{4} < x < \frac{7}{4}$

Решением является интервал от $\frac{1}{4}$ до $\frac{7}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{7}{4})$.

5) $|3-x| \le \frac{2}{3}$

Перейдем к равносильному двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le 3-x \le \frac{2}{3}$

Вычтем 3 из всех частей:

$-\frac{2}{3} - 3 \le 3-x-3 \le \frac{2}{3} - 3$

$-\frac{2}{3} - \frac{9}{3} \le -x \le \frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-\frac{11}{3} \le -x \le -\frac{7}{3}$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$\frac{11}{3} \ge x \ge \frac{7}{3}$

Запишем в стандартном порядке:

$\frac{7}{3} \le x \le \frac{11}{3}$

Решением является отрезок от $\frac{7}{3}$ до $\frac{11}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{7}{3}; \frac{11}{3}]$.

6) $|\frac{1}{3}+x| \le \frac{2}{3}$

Данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le \frac{1}{3}+x \le \frac{2}{3}$

Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \le \frac{1}{3}+x-\frac{1}{3} \le \frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

$-\frac{3}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

Упростим левую часть:

$-1 \le x \le \frac{1}{3}$

Решением является отрезок от -1 до $\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-1; \frac{1}{3}]$.