Номер 258, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 258, страница 96.

Условие.

258. Решить неравенство:

1) $|2x-3| > 5;$

2) $|3x-1| \le 4;$

3) $|1-3x| \le 1;$

4) $|3-2x| \ge 3;$

5) $|0,3-1,3x| < 2,3;$

6) $|1,2-0,8x| \ge 2,8.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Решим неравенство $|2x - 3| > 5$.
Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$2x - 3 > 5$ или $2x - 3 < -5$.
Решим первое неравенство:
$2x > 5 + 3$
$2x > 8$
$x > 4$
Решим второе неравенство:
$2x < -5 + 3$
$2x < -2$
$x < -1$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|3x - 1| \le 4$.
Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.
В нашем случае получаем:
$-4 \le 3x - 1 \le 4$
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-4 + 1 \le 3x \le 4 + 1$
$-3 \le 3x \le 5$
Разделим все части на 3:
$-\frac{3}{3} \le x \le \frac{5}{3}$
$-1 \le x \le \frac{5}{3}$
Решение в виде промежутка: $x \in [-1; \frac{5}{3}]$.
Ответ: $x \in [-1; \frac{5}{3}]$.

3) Решим неравенство $|1 - 3x| \le 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 \le 1 - 3x \le 1$
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$-1 - 1 \le -3x \le 1 - 1$
$-2 \le -3x \le 0$
Разделим все части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-2}{-3} \ge x \ge \frac{0}{-3}$
$\frac{2}{3} \ge x \ge 0$
Запишем в стандартном виде: $0 \le x \le \frac{2}{3}$.
Решение в виде промежутка: $x \in [0; \frac{2}{3}]$.
Ответ: $x \in [0; \frac{2}{3}]$.

4) Решим неравенство $|3 - 2x| \ge 3$.
Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
В нашем случае получаем совокупность:
$3 - 2x \ge 3$ или $3 - 2x \le -3$.
Решим первое неравенство:
$-2x \ge 3 - 3$
$-2x \ge 0$
$x \le 0$
Решим второе неравенство:
$-2x \le -3 - 3$
$-2x \le -6$
$x \ge 3$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $|0,3 - 1,3x| < 2,3$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-2,3 < 0,3 - 1,3x < 2,3$
Вычтем 0,3 из всех частей неравенства:
$-2,3 - 0,3 < -1,3x < 2,3 - 0,3$
$-2,6 < -1,3x < 2$
Разделим все части на -1,3 и сменим знаки неравенства на противоположные:
$\frac{-2,6}{-1,3} > x > \frac{2}{-1,3}$
$2 > x > -\frac{2}{1,3}$
Преобразуем дробь: $-\frac{2}{1,3} = -\frac{20}{13}$.
Получаем $2 > x > -\frac{20}{13}$, или в стандартном виде: $-\frac{20}{13} < x < 2$.
Решение в виде промежутка: $x \in (-\frac{20}{13}; 2)$.
Ответ: $x \in (-\frac{20}{13}; 2)$.

6) Решим неравенство $|1,2 - 0,8x| \ge 2,8$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$1,2 - 0,8x \ge 2,8$ или $1,2 - 0,8x \le -2,8$.
Решим первое неравенство:
$-0,8x \ge 2,8 - 1,2$
$-0,8x \ge 1,6$
$x \le \frac{1,6}{-0,8}$
$x \le -2$
Решим второе неравенство:
$-0,8x \le -2,8 - 1,2$
$-0,8x \le -4$
$x \ge \frac{-4}{-0,8}$
$x \ge 5$
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.