Номер 265, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 265, страница 96.

Условие.

265. Доказать, что $\Vert\vert a\vert - \vert b\vert\Vert \le \vert a + b\vert \le \vert a\vert + \vert b\vert$ для любых чисел $a$ и $b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства двойного неравенства $||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$ для любых чисел $a$ и $b$, разобьем его на два отдельных неравенства и докажем каждое из них.

Доказательство неравенства $|a + b| \le |a| + |b|$

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Докажем его, возведя обе части в квадрат. Поскольку обе части неравенства неотрицательны ($|x| \ge 0$), такое преобразование является равносильным.

$|a + b|^2 \le (|a| + |b|)^2$

Используя свойство модуля, согласно которому $|x|^2 = x^2$ для любого действительного числа $x$, раскроем скобки:

$(a + b)^2 \le |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|a||b| + b^2$

Также воспользуемся свойством $|a||b| = |ab|$:

$a^2 + 2ab + b^2 \le a^2 + 2|ab| + b^2$

Вычтем из обеих частей $a^2 + b^2$:

$2ab \le 2|ab|$

Разделим обе части на 2:

$ab \le |ab|$

Последнее неравенство истинно для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как любое число не превосходит своего модуля. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ также верно.

Ответ: Неравенство $|a + b| \le |a| + |b|$ доказано.

Доказательство неравенства $||a| - |b|| \le |a + b|$

Это неравенство известно как обратное неравенство треугольника. Для его доказательства воспользуемся уже доказанным неравенством треугольника: $|x+y| \le |x|+|y|$.

1. Представим число $a$ в виде суммы $a = (a+b) + (-b)$. Применим к этой сумме неравенство треугольника:

$|a| = |(a+b) + (-b)| \le |a+b| + |-b|$

Так как $|-b| = |b|$, получаем:

$|a| \le |a+b| + |b|$

Выразим из этого неравенства $|a+b|$:

$|a| - |b| \le |a+b|$ (1)

2. Аналогично, представим число $b$ в виде суммы $b = (b+a) + (-a)$:

$|b| = |(b+a) + (-a)| \le |b+a| + |-a|$

Так как $|-a| = |a|$ и $|b+a| = |a+b|$, получаем:

$|b| \le |a+b| + |a|$

Выразим $|a+b|$:

$|b| - |a| \le |a+b|$ (2)

Мы получили два неравенства: $|a| - |b| \le |a+b|$ и $|b| - |a| \le |a+b|$. Второе неравенство можно переписать как $-(|a| - |b|) \le |a+b|$.

Таким образом, мы имеем систему из двух неравенств:

$-|a+b| \le |a| - |b| \le |a+b|$

Это двойное неравенство, по определению модуля, равносильно следующему неравенству:

$||a| - |b|| \le |a+b|$

Следовательно, вторая часть исходного утверждения также верна.

Ответ: Неравенство $||a| - |b|| \le |a+b|$ доказано.

Поскольку мы доказали оба неравенства: $||a| - |b|| \le |a + b|$ и $|a + b| \le |a| + |b|$, то исходное двойное неравенство $||a| - |b|| \le |a + b| \le |a| + |b|$ является верным для любых чисел $a$ и $b$.