Номер 264, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 264, страница 96.

Условие.

264. Доказать, что число $|a-b|$ равно расстоянию между точками $a$ и $b$ числовой оси.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения необходимо рассмотреть все возможные варианты взаимного расположения точек с координатами a и b на числовой оси. Расстояние между двумя точками на числовой оси определяется как неотрицательная величина, равная разности между большей и меньшей координатой.

Случай 1: $a > b$
В этом случае точка с координатой a находится правее точки с координатой b. Расстояние между ними, по определению, равно $a - b$.
Рассмотрим теперь выражение $|a - b|$. Согласно определению модуля, так как разность $a - b$ положительна ($a - b > 0$), то $|a - b| = a - b$.
Следовательно, в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Случай 2: $a < b$
В этом случае точка с координатой a находится левее точки с координатой b. Расстояние между ними равно $b - a$.
Рассмотрим выражение $|a - b|$. Согласно определению модуля, так как разность $a - b$ отрицательна ($a - b < 0$), то $|a - b| = -(a - b) = b - a$.
Следовательно, и в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Случай 3: $a = b$
В этом случае точки совпадают, и расстояние между ними равно 0.
Выражение $|a - b|$ при $a = b$ принимает значение $|a - a| = |0| = 0$.
Следовательно, и в этом случае расстояние равно $|a - b|$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что для любых точек a и b на числовой оси расстояние между ними равно значению выражения $|a - b|$.
Ответ: Утверждение доказано.