Номер 262, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 262, страница 96.

Условие.

262. Выяснить, положительно или отрицательно число a, если:

1) $a^3|a|<0;$

2) $a|a|^2>0;$

3) $\frac{a^3}{|a|} > 0;$

4) $\frac{|a|}{a} < 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $a^3|a| < 0$
В данном неравенстве модуль числа $|a|$ всегда положителен, так как по условию $a \ne 0$. Произведение двух чисел отрицательно, если эти числа имеют разные знаки. Поскольку $|a| > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы множитель $a^3$ был отрицательным: $a^3 < 0$. Степень с нечетным показателем сохраняет знак основания, поэтому из $a^3 < 0$ следует, что $a < 0$.
Ответ: число $a$ отрицательно.

2) $a|a|^2 > 0$
Выражение $|a|^2$ всегда положительно при $a \ne 0$ (так как $|a|^2=a^2$, а квадрат любого ненулевого числа положителен). Произведение двух чисел положительно, если эти числа имеют одинаковые знаки. Поскольку $|a|^2 > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы и множитель $a$ был положительным: $a > 0$.
Ответ: число $a$ положительно.

3) $\frac{a^3}{|a|} > 0$
В данной дроби знаменатель $|a|$ всегда положителен при $a \ne 0$. Дробь (частное) положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку знаменатель $|a| > 0$, то числитель $a^3$ также должен быть положителен: $a^3 > 0$. Это возможно, только если $a > 0$.
Ответ: число $a$ положительно.

4) $\frac{|a|}{a} < 0$
В данной дроби числитель $|a|$ всегда положителен при $a \ne 0$. Дробь (частное) отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель $|a| > 0$, то для выполнения неравенства знаменатель $a$ должен быть отрицательным: $a < 0$.
Ответ: число $a$ отрицательно.