Номер 256, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 256, страница 96.

Условие.

256. 1) $|4x-3|\ge3;$

2) $|3x+2|>1;$

3) $|3x-2|>4;$

4) $|4-5x|\ge4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим неравенство $|4x-3| \ge 3$.
Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
Применим это правило к нашему случаю. Неравенство $|4x-3| \ge 3$ распадается на два случая:
1) $4x-3 \ge 3$
$4x \ge 3+3$
$4x \ge 6$
$x \ge \frac{6}{4}$
$x \ge \frac{3}{2}$
2) $4x-3 \le -3$
$4x \le -3+3$
$4x \le 0$
$x \le 0$
Решением исходного неравенства является объединение полученных промежутков: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{3}{2}, +\infty)$.

2) Решим неравенство $|3x+2| > 1$.
Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.
Применительно к нашему неравенству, получаем:
1) $3x+2 > 1$
$3x > 1-2$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
2) $3x+2 < -1$
$3x < -1-2$
$3x < -3$
$x < -1$
Объединив эти два решения, получим итоговый ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $|3x-2| > 4$.
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $3x-2 > 4$ или $3x-2 < -4$.
Решим каждое из них:
1) $3x-2 > 4$
$3x > 4+2$
$3x > 6$
$x > 2$
2) $3x-2 < -4$
$3x < -4+2$
$3x < -2$
$x < -\frac{2}{3}$
Решением является объединение найденных интервалов: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$.

4) Решим неравенство $|4-5x| \ge 4$.
Это неравенство эквивалентно совокупности: $4-5x \ge 4$ или $4-5x \le -4$.
Решим первое неравенство:
$4-5x \ge 4$
$-5x \ge 4-4$
$-5x \ge 0$
При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{0}{-5}$
$x \le 0$
Решим второе неравенство:
$4-5x \le -4$
$-5x \le -4-4$
$-5x \le -8$
При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства снова меняется:
$x \ge \frac{-8}{-5}$
$x \ge \frac{8}{5}$
Объединяем решения: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{5}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{5}, +\infty)$.