Номер 252, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 252, страница 95.

Условие.

252. Двойное неравенство записать в виде одного неравенства с модулем:

1) $ -3,1 < x < 3,1; $

2) $ -0,3 \leq x \leq 0,3; $

3) $ -8 \leq 3x < 8. $

Решение 1.

Решение 4.

Для преобразования двойного неравенства вида $-a < x < a$ или $-a \le x \le a$ (где $a > 0$) в неравенство с модулем используется свойство модуля:

• Неравенство $|x| < a$ равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.
• Неравенство $|x| \le a$ равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

Это правило означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше (или меньше либо равно) $a$.

1) Дано двойное неравенство $-3,1 < x < 3,1$.
Это неравенство симметрично относительно нуля. В данном случае $a = 3,1$. Так как неравенство строгое (используются знаки $<$), мы применяем правило для строгого неравенства.
Ответ: $|x| < 3,1$.

2) Дано двойное неравенство $-0,3 \le x \le 0,3$.
Это неравенство также симметрично относительно нуля, и здесь $a = 0,3$. Так как неравенство нестрогое (используются знаки $\le$), мы применяем правило для нестрогого неравенства.
Ответ: $|x| \le 0,3$.

3) Дано двойное неравенство $-8 \le 3x < 8$.
В этом случае в центре неравенства находится выражение $3x$. Промежуток для $3x$ задан от $-8$ до $8$, то есть он симметричен относительно нуля. Это позволяет использовать запись с модулем. Неравенство означает, что расстояние от значения $3x$ до нуля на числовой прямой не должно превышать 8. Рассмотрим крайние точки промежутка. Левая граница $3x = -8$ включена в решение, и её модуль равен $|-8| = 8$. Правая граница $3x = 8$ не включена. Все значения $3x$ внутри этого интервала имеют модуль меньше 8. Таким образом, для любой точки из промежутка $[-8, 8)$ выполняется условие, что её модуль меньше или равен 8. Следовательно, мы можем записать это в виде нестрогого неравенства с модулем.
Ответ: $|3x| \le 8$.