Номер 251, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 251, страница 95.

Условие.

251. Записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства:

1) $|x| \le 3;$

2) $|x| < 2;$

3) $|x - 1| < 5;$

4) $|3x + 2| \le 4.$

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы записать неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ или $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) в виде двойного неравенства, используется следующее правило:
$|f(x)| \le a$ равносильно $-a \le f(x) \le a$.
$|f(x)| < a$ равносильно $-a < f(x) < a$.

1) Дано неравенство $|x| \le 3$.
Это неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $f(x) = x$ и $a = 3$.
Применяя правило, получаем двойное неравенство:
$-3 \le x \le 3$.
Ответ: $-3 \le x \le 3$.

2) Дано неравенство $|x| < 2$.
Это неравенство вида $|f(x)| < a$, где $f(x) = x$ и $a = 2$.
Применяя правило, получаем двойное неравенство:
$-2 < x < 2$.
Ответ: $-2 < x < 2$.

3) Дано неравенство $|x - 1| < 5$.
Это неравенство вида $|f(x)| < a$, где $f(x) = x - 1$ и $a = 5$.
Запишем его в виде двойного неравенства:
$-5 < x - 1 < 5$.
Чтобы найти решение для $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-5 + 1 < x - 1 + 1 < 5 + 1$.
$-4 < x < 6$.
Ответ: $-4 < x < 6$.

4) Дано неравенство $|3x + 2| \le 4$.
Это неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $f(x) = 3x + 2$ и $a = 4$.
Запишем его в виде двойного неравенства:
$-4 \le 3x + 2 \le 4$.
Теперь решим это двойное неравенство относительно $x$. Сначала вычтем 2 из всех частей:
$-4 - 2 \le 3x + 2 - 2 \le 4 - 2$.
$-6 \le 3x \le 2$.
Затем разделим все части на 3:
$\frac{-6}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{2}{3}$.
$-2 \le x \le \frac{2}{3}$.
Ответ: $-2 \le x \le \frac{2}{3}$.