Номер 255, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 255, страница 95.

Условие.

255. 1) $ |x+1|>1,3; $

2) $ |x-2|\ge1,1; $

3) $ |1-x|\ge\frac{1}{2}; $

4) $ |3-x|>\frac{2}{3}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим неравенство $|x+1| > 1,3$.

Неравенство с модулем вида $|A| > B$, где $B>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В данном случае $A = x+1$ и $B = 1,3$. Следовательно, мы решаем совокупность:

$x+1 > 1,3$ или $x+1 < -1,3$.

Решим первое неравенство:

$x > 1,3 - 1$

$x > 0,3$

Решим второе неравенство:

$x < -1,3 - 1$

$x < -2,3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,3) \cup (0,3; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x-2| \ge 1,1$.

Неравенство с модулем вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

В данном случае $A = x-2$ и $B = 1,1$. Получаем совокупность:

$x-2 \ge 1,1$ или $x-2 \le -1,1$.

Решим первое неравенство:

$x \ge 1,1 + 2$

$x \ge 3,1$

Решим второе неравенство:

$x \le -1,1 + 2$

$x \le 0,9$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,9] \cup [3,1; +\infty)$.

3) Решим неравенство $|1-x| \ge \frac{1}{2}$.

Данное неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности $A \ge B$ или $A \le -B$.

Здесь $A = 1-x$ и $B = \frac{1}{2}$. Получаем совокупность неравенств:

$1-x \ge \frac{1}{2}$ или $1-x \le -\frac{1}{2}$.

Решим первое неравенство:

$-x \ge \frac{1}{2} - 1$

$-x \ge -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство:

$-x \le -\frac{1}{2} - 1$

$-x \le -\frac{3}{2}$

Умножим обе части на -1, снова меняя знак неравенства:

$x \ge \frac{3}{2}$

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

4) Решим неравенство $|3-x| > \frac{2}{3}$.

Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности неравенств $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае $A = 3-x$ и $B = \frac{2}{3}$. Составляем совокупность:

$3-x > \frac{2}{3}$ или $3-x < -\frac{2}{3}$.

Решим первое неравенство:

$-x > \frac{2}{3} - 3$

$-x > \frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-x > -\frac{7}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x < \frac{7}{3}$

Решим второе неравенство:

$-x < -\frac{2}{3} - 3$

$-x < -\frac{2}{3} - \frac{9}{3}$

$-x < -\frac{11}{3}$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x > \frac{11}{3}$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{3}) \cup (\frac{11}{3}; +\infty)$.