Номер 5, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 15. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Глава 2. Неравенства - номер 5, страница 94.

Условие.

5. Что является решениями неравенств $|x| \le a$ и $|x| \ge a$, если $a > 0$?

Решение 3.

Решение 4.

$|x| \le a$

Данное неравенство необходимо решить при условии $a > 0$. Решение можно найти, раскрыв модуль по определению. Модуль числа $x$ равен $x$, если $x \ge 0$, и $-x$, если $x < 0$. Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x \le a$. Совмещая с условием $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $0 \le x \le a$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $-x \le a$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим $x \ge -a$. Совмещая с условием $x < 0$, получаем решение для этого случая: $-a \le x < 0$.

Общее решение является объединением решений этих двух случаев: $[-a, 0) \cup [0, a]$. Это дает нам двойное неравенство $-a \le x \le a$.
Геометрически неравенство $|x| \le a$ означает, что расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля не превышает $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие на отрезке от $-a$ до $a$.

Ответ: $x \in [-a, a]$.

$|x| \ge a$

Данное неравенство также решается при условии $a > 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x \ge a$. Так как по условию $a > 0$, это решение ($x \ge a$) полностью входит в рассматриваемый случай ($x \ge 0$).

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $-x \ge a$. Умножив обе части на -1 и изменив знак, получим $x \le -a$. Так как $a > 0$, то $-a$ является отрицательным числом, и это решение ($x \le -a$) полностью входит в рассматриваемый случай ($x < 0$).

Общее решение является совокупностью (объединением) решений для этих двух случаев. То есть, $x$ должен удовлетворять либо первому, либо второму условию. $$ \left[ \begin{array}{l} x \ge a, \\ x \le -a. \end{array} \right. $$ Геометрически неравенство $|x| \ge a$ означает, что расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля не меньше, чем $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие левее $-a$ (включая саму точку) и правее $a$ (включая саму точку).

Ответ: $x \in (-\infty, -a] \cup [a, +\infty)$.