Страница 105 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

269. Найти погрешность приближения:

1) числа 0,1975 числом 0,198;

2) числа 3,254 числом 3,25;

3) числа $\frac{8}{17}$ числом $\frac{1}{2}$;

4) числа $\frac{22}{7}$ числом 3,14.

Погрешность приближения, также известная как абсолютная погрешность, определяется как модуль разности между точным значением и его приближенным значением. Если $x$ — это точное значение, а $a$ — приближенное значение, то погрешность вычисляется по формуле: $|x - a|$.

1) Найдём погрешность приближения числа $0,1975$ числом $0,198$.
Точное значение: $x = 0,1975$.
Приближенное значение: $a = 0,198$.
Погрешность равна модулю их разности: $|0,1975 - 0,198| = |-0,0005| = 0,0005$.
Ответ: 0,0005.

2) Найдём погрешность приближения числа $3,254$ числом $3,25$.
Точное значение: $x = 3,254$.
Приближенное значение: $a = 3,25$.
Погрешность равна модулю их разности: $|3,254 - 3,25| = |0,004| = 0,004$.
Ответ: 0,004.

3) Найдём погрешность приближения числа $\frac{8}{17}$ числом $\frac{1}{2}$.
Точное значение: $x = \frac{8}{17}$.
Приближенное значение: $a = \frac{1}{2}$.
Для вычисления разности приведем дроби к общему знаменателю, который равен $17 \cdot 2 = 34$:
Погрешность: $|\frac{8}{17} - \frac{1}{2}| = |\frac{8 \cdot 2}{17 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 17}{2 \cdot 17}| = |\frac{16}{34} - \frac{17}{34}| = |-\frac{1}{34}| = \frac{1}{34}$.
Ответ: $\frac{1}{34}$.

4) Найдём погрешность приближения числа $\frac{22}{7}$ числом $3,14$.
Точное значение: $x = \frac{22}{7}$.
Приближенное значение: $a = 3,14$.
Сначала представим десятичную дробь $3,14$ в виде обыкновенной дроби: $3,14 = \frac{314}{100} = \frac{157}{50}$.
Теперь вычислим модуль разности, приведя дроби к общему знаменателю $7 \cdot 50 = 350$:
Погрешность: $|\frac{22}{7} - \frac{157}{50}| = |\frac{22 \cdot 50}{7 \cdot 50} - \frac{157 \cdot 7}{50 \cdot 7}| = |\frac{1100}{350} - \frac{1099}{350}| = |\frac{1}{350}| = \frac{1}{350}$.
Ответ: $\frac{1}{350}$.

270. Пусть $a$ — приближённое значение числа $x$. Найти погрешность приближения, если:

1) $x = 5,346, a = 5,3;$

2) $x = 4,82, a = 4,9;$

3) $x = 15,9, a = 16;$

4) $x = 25,08, a = 25.$

Погрешность приближения, также известная как абсолютная погрешность, – это модуль разности между точным значением $x$ и его приближенным значением $a$. Она вычисляется по формуле: $|x - a|$.

1) При $x = 5,346$ и $a = 5,3$ погрешность приближения равна:

$|x - a| = |5,346 - 5,3| = |0,046| = 0,046$.

Ответ: 0,046.

2) При $x = 4,82$ и $a = 4,9$ погрешность приближения равна:

$|x - a| = |4,82 - 4,9| = |-0,08| = 0,08$.

Ответ: 0,08.

3) При $x = 15,9$ и $a = 16$ погрешность приближения равна:

$|x - a| = |15,9 - 16| = |-0,1| = 0,1$.

Ответ: 0,1.

4) При $x = 25,08$ и $a = 25$ погрешность приближения равна:

$|x - a| = |25,08 - 25| = |0,08| = 0,08$.

Ответ: 0,08.

271. Известно, что сумма внутренних углов четырёхугольника равна $360^\circ$. При нахождении суммы внутренних углов четырёхугольника с помощью транспортира получили результат $363^\circ$. Чему равна погрешность приближения?

Погрешность приближения (или абсолютная погрешность) представляет собой модуль разности между приближенным значением, полученным в результате измерения, и точным значением.

В данном случае:
1. Точное значение суммы внутренних углов четырёхугольника равно $360^\circ$. Это известная теорема из геометрии.
2. Приближенное значение, полученное при измерении с помощью транспортира, равно $363^\circ$.

Для нахождения погрешности приближения вычтем из приближенного значения точное и возьмём результат по модулю (абсолютную величину).

Погрешность = $|Приближенное\ значение - Точное\ значение|$

Подставим числовые данные в формулу:

Погрешность = $|363^\circ - 360^\circ| = 3^\circ$

Таким образом, погрешность приближения, допущенная при измерении, составляет $3^\circ$.

Ответ: $3^\circ$.

272. Что означает запись:

1) $x = 3,9 \pm 0,2$;

2) $x = 0,4 \pm 0,15$;

3) $x = \frac{1}{3} \pm \frac{1}{10}$;

4) $x = 0,73 \pm 0,01$;

5) $x = 135 \pm 1$;

6) $x = 2\frac{1}{5} \pm \frac{1}{10}$?

Запись вида $x = a \pm h$ (читается "икс равно а плюс-минус аш") означает, что $x$ является величиной, приближенное значение которой равно $a$, а абсолютная погрешность этого приближения не превышает $h$. Другими словами, истинное значение $x$ находится в границах от $a-h$ до $a+h$, что эквивалентно двойному неравенству $a - h \le x \le a + h$.

1) В случае записи $x=3,9 \pm 0,2$, приближенное значение $x$ равно $3,9$, а абсолютная погрешность равна $0,2$.

Найдем границы для истинного значения $x$:

Нижняя граница: $3,9 - 0,2 = 3,7$.

Верхняя граница: $3,9 + 0,2 = 4,1$.

Таким образом, данная запись означает, что $3,7 \le x \le 4,1$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[3,7; 4,1]$, то есть $3,7 \le x \le 4,1$.

2) В случае записи $x=0,4 \pm 0,15$, приближенное значение $x$ равно $0,4$, а абсолютная погрешность равна $0,15$.

Найдем границы для истинного значения $x$:

Нижняя граница: $0,4 - 0,15 = 0,25$.

Верхняя граница: $0,4 + 0,15 = 0,55$.

Таким образом, данная запись означает, что $0,25 \le x \le 0,55$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[0,25; 0,55]$, то есть $0,25 \le x \le 0,55$.

3) В случае записи $x=\frac{1}{3} \pm \frac{1}{10}$, приближенное значение $x$ равно $\frac{1}{3}$, а абсолютная погрешность равна $\frac{1}{10}$.

Для вычисления границ приведем дроби к общему знаменателю $30$:

Нижняя граница: $\frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{10}{30} - \frac{3}{30} = \frac{7}{30}$.

Верхняя граница: $\frac{1}{3} + \frac{1}{10} = \frac{10}{30} + \frac{3}{30} = \frac{13}{30}$.

Таким образом, данная запись означает, что $\frac{7}{30} \le x \le \frac{13}{30}$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[\frac{7}{30}; \frac{13}{30}]$, то есть $\frac{7}{30} \le x \le \frac{13}{30}$.

4) В случае записи $x=0,73 \pm 0,01$, приближенное значение $x$ равно $0,73$, а абсолютная погрешность равна $0,01$.

Найдем границы для истинного значения $x$:

Нижняя граница: $0,73 - 0,01 = 0,72$.

Верхняя граница: $0,73 + 0,01 = 0,74$.

Таким образом, данная запись означает, что $0,72 \le x \le 0,74$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[0,72; 0,74]$, то есть $0,72 \le x \le 0,74$.

5) В случае записи $x=135 \pm 1$, приближенное значение $x$ равно $135$, а абсолютная погрешность равна $1$.

Найдем границы для истинного значения $x$:

Нижняя граница: $135 - 1 = 134$.

Верхняя граница: $135 + 1 = 136$.

Таким образом, данная запись означает, что $134 \le x \le 136$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[134; 136]$, то есть $134 \le x \le 136$.

6) В случае записи $x=2\frac{1}{5} \pm \frac{1}{10}$, приближенное значение $x$ равно $2\frac{1}{5}$, а абсолютная погрешность равна $\frac{1}{10}$.

Для вычисления границ представим $2\frac{1}{5}$ как $\frac{11}{5}$ и приведем дроби к общему знаменателю $10$:

Нижняя граница: $2\frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{11}{5} - \frac{1}{10} = \frac{22}{10} - \frac{1}{10} = \frac{21}{10} = 2\frac{1}{10}$.

Верхняя граница: $2\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{11}{5} + \frac{1}{10} = \frac{22}{10} + \frac{1}{10} = \frac{23}{10} = 2\frac{3}{10}$.

Таким образом, данная запись означает, что $2\frac{1}{10} \le x \le 2\frac{3}{10}$.

Ответ: Запись означает, что истинное значение $x$ находится в промежутке $[2\frac{1}{10}; 2\frac{3}{10}]$, то есть $2\frac{1}{10} \le x \le 2\frac{3}{10}$.

273. Записать в виде двойного неравенства:

1) $x = 11 \pm 0.5$;

2) $m = 142 \pm 1$;

3) $l = 3.7 \pm 0.1$;

4) $v = 900 \pm 5$;

5) $x = a \pm h$;

6) $y = m \pm n$.

1)

Запись $x = 11 \pm 0,5$ означает, что значение $x$ находится в интервале, границы которого определяются вычитанием и прибавлением погрешности $0,5$ к значению $11$.

Нижняя граница интервала: $11 - 0,5 = 10,5$.

Верхняя граница интервала: $11 + 0,5 = 11,5$.

Следовательно, значение $x$ удовлетворяет двойному неравенству: $10,5 \le x \le 11,5$.

Ответ: $10,5 \le x \le 11,5$.

2)

Запись $m = 142 \pm 1$ означает, что значение $m$ находится в интервале от $142 - 1$ до $142 + 1$.

Найдем нижнюю границу: $142 - 1 = 141$.

Найдем верхнюю границу: $142 + 1 = 143$.

Таким образом, двойное неравенство имеет вид: $141 \le m \le 143$.

Ответ: $141 \le m \le 143$.

3)

Запись $l = 3,7 \pm 0,1$ означает, что значение $l$ находится в пределах от $3,7 - 0,1$ до $3,7 + 0,1$.

Вычисляем нижнюю границу: $3,7 - 0,1 = 3,6$.

Вычисляем верхнюю границу: $3,7 + 0,1 = 3,8$.

В виде двойного неравенства это записывается как: $3,6 \le l \le 3,8$.

Ответ: $3,6 \le l \le 3,8$.

4)

Запись $v = 900 \pm 5$ означает, что значение $v$ находится в интервале от $900 - 5$ до $900 + 5$.

Нижняя граница: $900 - 5 = 895$.

Верхняя граница: $900 + 5 = 905$.

Таким образом, двойное неравенство для $v$ будет: $895 \le v \le 905$.

Ответ: $895 \le v \le 905$.

5)

Запись $x = a \pm h$ является общей формулой для приближенного значения с погрешностью. Она показывает, что точное значение $x$ лежит в диапазоне от $a-h$ до $a+h$ включительно.

Нижняя граница: $a - h$.

Верхняя граница: $a + h$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $a - h \le x \le a + h$.

Ответ: $a - h \le x \le a + h$.

6)

Запись $y = m \pm n$ аналогична предыдущему пункту. Она означает, что значение $y$ находится в интервале, который определяется центральным значением $m$ и погрешностью $n$.

Нижняя граница интервала: $m - n$.

Верхняя граница интервала: $m + n$.

Следовательно, двойное неравенство имеет вид: $m - n \le y \le m + n$.

Ответ: $m - n \le y \le m + n$.

274. Найти приближённые значения числа x с недостатком и с избытком, если известно, что:

1) $x = 4 \pm 0.1;$

2) $x = 2.7 \pm 0.1;$

3) $x = 0.6 \pm 0.12;$

4) $x = 5.9 \pm 0.2.$

Запись вида $x = a \pm h$ означает, что точное значение числа $x$ находится в интервале, границы которого определяются как $a-h$ и $a+h$. Таким образом, выполняется двойное неравенство $a-h \le x \le a+h$.

Приближенное значение с недостатком — это нижняя граница этого интервала, которая вычисляется по формуле $a-h$.

Приближенное значение с избытком — это верхняя граница этого интервала, которая вычисляется по формуле $a+h$.

Найдем эти значения для каждого из представленных случаев.

1) Дано $x = 4 \pm 0,1$.

Приближенное значение с недостатком: $4 - 0,1 = 3,9$.
Приближенное значение с избытком: $4 + 0,1 = 4,1$.

Ответ: приближенное значение с недостатком – 3,9; с избытком – 4,1.

2) Дано $x = 2,7 \pm 0,1$.

Приближенное значение с недостатком: $2,7 - 0,1 = 2,6$.
Приближенное значение с избытком: $2,7 + 0,1 = 2,8$.

Ответ: приближенное значение с недостатком – 2,6; с избытком – 2,8.

3) Дано $x = 0,6 \pm 0,12$.

Приближенное значение с недостатком: $0,6 - 0,12 = 0,48$.
Приближенное значение с избытком: $0,6 + 0,12 = 0,72$.

Ответ: приближенное значение с недостатком – 0,48; с избытком – 0,72.

4) Дано $x = 5,9 \pm 0,2$.

Приближенное значение с недостатком: $5,9 - 0,2 = 5,7$.
Приближенное значение с избытком: $5,9 + 0,2 = 6,1$.

Ответ: приближенное значение с недостатком – 5,7; с избытком – 6,1.

275. Пусть $x=5,8\pm0,2$. Может ли точное значение оказаться равным:

1) 5,9;

2) 6,001;

3) 6;

4) 5,81?

Запись $x = 5,8 \pm 0,2$ означает, что точное значение величины $x$ принадлежит числовому промежутку, который определяется приближенным значением $5,8$ и погрешностью $0,2$. Эта запись эквивалентна двойному неравенству:

$5,8 - 0,2 \le x \le 5,8 + 0,2$

Вычислим границы этого промежутка:

Нижняя граница: $5,8 - 0,2 = 5,6$

Верхняя граница: $5,8 + 0,2 = 6,0$

Таким образом, точное значение $x$ должно находиться в пределах от $5,6$ до $6,0$ включительно, то есть $x \in [5,6; 6,0]$.

Теперь проверим, может ли точное значение $x$ быть равным предложенным числам, то есть принадлежат ли эти числа указанному промежутку.

1) 5,9;

Проверим, выполняется ли условие $5,6 \le 5,9 \le 6,0$. Неравенство верное, так как $5,9$ больше $5,6$ и меньше $6,0$. Следовательно, точное значение может быть равным $5,9$.

Ответ: Да, может.

2) 6,001;

Проверим, выполняется ли условие $5,6 \le 6,001 \le 6,0$. Неравенство неверное, так как $6,001 > 6,0$. Следовательно, точное значение не может быть равным $6,001$.

Ответ: Нет, не может.

3) 6;

Проверим, выполняется ли условие $5,6 \le 6 \le 6,0$. Неравенство верное, так как число $6$ равно верхней границе промежутка ($6 = 6,0$) и входит в него. Следовательно, точное значение может быть равным $6$.

Ответ: Да, может.

4) 5,81?

Проверим, выполняется ли условие $5,6 \le 5,81 \le 6,0$. Неравенство верное, так как $5,81$ больше $5,6$ и меньше $6,0$. Следовательно, точное значение может быть равным $5,81$.

Ответ: Да, может.

276. Указать приближённое значение числа $x$, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком:

1) $20 \le x \le 22$;

2) $5 \le x \le 6$;

3) $4,5 \le x \le 4,8$;

4) $3,7 \le x \le 4,1$;

5) $2,81 \le x \le 2,83$;

6) $0,55 \le x \le 0,6$.

Для нахождения приближенного значения числа $x$, равного среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком, необходимо найти полусумму концов заданного отрезка.

1) Дано неравенство $20 \le x \le 22$.

Приближение с недостатком (нижняя граница) равно 20, а приближение с избытком (верхняя граница) равно 22. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21.

2) Дано неравенство $5 \le x \le 6$.

Приближение с недостатком равно 5, а приближение с избытком равно 6. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2} = 5,5$.

Ответ: 5,5.

3) Дано неравенство $4,5 \le x \le 4,8$.

Приближение с недостатком равно 4,5, а приближение с избытком равно 4,8. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{4,5 + 4,8}{2} = \frac{9,3}{2} = 4,65$.

Ответ: 4,65.

4) Дано неравенство $3,7 \le x \le 4,1$.

Приближение с недостатком равно 3,7, а приближение с избытком равно 4,1. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{3,7 + 4,1}{2} = \frac{7,8}{2} = 3,9$.

Ответ: 3,9.

5) Дано неравенство $2,81 \le x \le 2,83$.

Приближение с недостатком равно 2,81, а приближение с избытком равно 2,83. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{2,81 + 2,83}{2} = \frac{5,64}{2} = 2,82$.

Ответ: 2,82.

6) Дано неравенство $0,55 \le x \le 0,6$.

Приближение с недостатком равно 0,55, а приближение с избытком равно 0,6. Найдем их среднее арифметическое:

$x \approx \frac{0,55 + 0,6}{2} = \frac{1,15}{2} = 0,575$.

Ответ: 0,575.

277. Доказать, что:

1) 2,7 есть приближенное значение 2,7356 с точностью до 0,5;

2) число 0,27 является приближённым значением дроби $ \frac{11}{40} $ с точностью до 0,01.

1) Чтобы доказать, что одно число является приближенным значением другого с определенной точностью, нужно найти модуль их разности (абсолютную погрешность) и сравнить его с заданной точностью. Если абсолютная погрешность меньше или равна заданной точности, утверждение верно.
Пусть точное значение $x = 2,7356$, а приближенное значение $a = 2,7$. Точность $h = 0,5$.
Мы должны доказать, что $|x - a| \le h$.
Найдем абсолютную погрешность:
$|2,7356 - 2,7| = |0,0356| = 0,0356$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью:
$0,0356 \le 0,5$.
Это неравенство истинно, так как $0,0356$ значительно меньше $0,5$. Следовательно, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

2) В данном случае точное значение $x = \frac{11}{40}$, приближенное значение $a = 0,27$, а точность $h = 0,01$.
Мы должны доказать, что $|\frac{11}{40} - 0,27| \le 0,01$.
Для удобства вычислений переведем обыкновенную дробь в десятичную:
$x = \frac{11}{40} = 11 \div 40 = 0,275$.
Теперь найдем абсолютную погрешность:
$|0,275 - 0,27| = |0,005| = 0,005$.
Сравним полученную погрешность с заданной точностью:
$0,005 \le 0,01$.
Это неравенство истинно, так как $0,005$ меньше, чем $0,01$. Следовательно, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.