Страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

303. Указать значения $x$ (если они существуют), при которых значения функций $y=-x+1$ и $y=x+2$ одновременно:

1) положительны;

2) отрицательны;

3) больше 1;

4) больше 2.

Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости.

Для решения задачи сначала построим графики функций $y = -x + 1$ и $y = x + 2$ в одной координатной плоскости. Обе функции являются линейными, их графики – прямые линии.

Для функции $y_1 = -x + 1$ (на графике обозначена синим цветом):

• Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y=1$. Координаты: $(0, 1)$.
• Точка пересечения с осью OX (при $y=0$): $0 = -x + 1 \implies x=1$. Координаты: $(1, 0)$.

Для функции $y_2 = x + 2$ (на графике обозначена красным цветом):

• Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y=2$. Координаты: $(0, 2)$.
• Точка пересечения с осью OX (при $y=0$): $0 = x + 2 \implies x=-2$. Координаты: $(-2, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив систему уравнений:$ \begin{cases} y = -x + 1 \\ y = x + 2 \end{cases} $
$-x + 1 = x + 2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$.
Подставим $x$ в любое из уравнений: $y = -(-0.5) + 1 = 0.5 + 1 = 1.5$.
Точка пересечения графиков: $(-0.5, 1.5)$.

1) положительны;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше нуля. Это соответствует решению системы неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > -1 \\ x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x > -2 \end{cases} $Объединяя решения, получаем интервал: $-2 < x < 1$.На графике это интервал по оси $x$, на котором оба графика (синий и красный) находятся выше оси абсцисс ($y=0$). График $y=x+2$ выше оси при $x > -2$, а график $y=-x+1$ выше оси при $x < 1$. Общим решением является их пересечение.
Ответ: $x \in (-2, 1)$.

2) отрицательны;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций меньше нуля. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 < 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x < -1 \\ x < -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < -2 \end{cases} $Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 1 и меньше -2. Следовательно, система не имеет решений.На графике видно, что не существует интервала по оси $x$, на котором оба графика одновременно находились бы ниже оси абсцисс.
Ответ: таких значений $x$ не существует.

3) больше 1;

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше 1. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 1 \\ x + 2 > 1 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x > -1 \end{cases} $Объединяя решения, получаем интервал: $-1 < x < 0$.На графике это соответствует интервалу по оси $x$, на котором оба графика находятся выше горизонтальной прямой $y=1$ (зеленая пунктирная линия).
Ответ: $x \in (-1, 0)$.

4) больше 2.

Требуется найти значения $x$, при которых значения обеих функций больше 2. Решаем систему неравенств:$ \begin{cases} -x + 1 > 2 \\ x + 2 > 2 \end{cases} $Решаем каждое неравенство:$ \begin{cases} -x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x > 0 \end{cases} $Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше -1 и больше 0. Система не имеет решений.На графике видно, что не существует интервала по оси $x$, на котором оба графика одновременно находились бы выше горизонтальной прямой $y=2$ (оранжевая пунктирная линия).
Ответ: таких значений $x$ не существует.

304. Решить систему неравенств:

1) $\begin{cases}0,4(x + 3) - 1,7 \geq 0,3(x - 5) + 0,7x \\0,4(x - 1) + 0,5x \geq 0,3(x + 5) - 0,9\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{x + 4}{7} \leq \frac{2x - 3}{5} \\\frac{6x - 8}{3} \leq \frac{3 + 5x}{4}\end{cases}$

3) $\begin{cases}\frac{7 - x}{2} - 3 \leq \frac{3 + 4x}{5} \\\frac{5x}{3} + 5(4 - x) > 2(4 - x) + 13\end{cases}$

4) $\begin{cases}0,4x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - 1,2 \\\frac{2x + 9}{7} > \frac{5x - 3}{4}\end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4(x + 3) - 1,7 \ge 0,3(x - 5) + 0,7x \\ 0,4(x - 1) + 0,5x \ge 0,3(x + 5) - 0,9 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Для удобства умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4(x + 3) - 17 \ge 3(x - 5) + 7x$

Раскроем скобки:

$4x + 12 - 17 \ge 3x - 15 + 7x$

Приведем подобные слагаемые:

$4x - 5 \ge 10x - 15$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 - 5 \ge 10x - 4x$

$10 \ge 6x$

$x \le \frac{10}{6}$

$x \le \frac{5}{3}$

Теперь решим второе неравенство. Также умножим обе части на 10:

$4(x - 1) + 5x \ge 3(x + 5) - 9$

Раскроем скобки:

$4x - 4 + 5x \ge 3x + 15 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$9x - 4 \ge 3x + 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 3x \ge 6 + 4$

$6x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{6}$

$x \ge \frac{5}{3}$

Объединим решения обоих неравенств: $x \le \frac{5}{3}$ и $x \ge \frac{5}{3}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x + 4}{7} \le \frac{2x - 3}{5} \\ \frac{6x - 8}{3} \le \frac{3 + 5x}{4} \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 35:

$5(x + 4) \le 7(2x - 3)$

Раскроем скобки:

$5x + 20 \le 14x - 21$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$20 + 21 \le 14x - 5x$

$41 \le 9x$

$x \ge \frac{41}{9}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 12:

$4(6x - 8) \le 3(3 + 5x)$

Раскроем скобки:

$24x - 32 \le 9 + 15x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$24x - 15x \le 9 + 32$

$9x \le 41$

$x \le \frac{41}{9}$

Объединим решения обоих неравенств: $x \ge \frac{41}{9}$ и $x \le \frac{41}{9}$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{41}{9}$.

Ответ: $\frac{41}{9}$.

3) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{7 - x}{2} - 3 \le \frac{3 + 4x}{5} \\ \frac{5x}{3} + 5(4 - x) > 2(4 - x) + 13 \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Сначала упростим левую часть:

$\frac{7 - x - 2 \cdot 3}{2} \le \frac{3 + 4x}{5}$

$\frac{1 - x}{2} \le \frac{3 + 4x}{5}$

Умножим обе части на общий знаменатель 10:

$5(1 - x) \le 2(3 + 4x)$

$5 - 5x \le 6 + 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$5 - 6 \le 8x + 5x$

$-1 \le 13x$

$x \ge -\frac{1}{13}$

Теперь решим второе неравенство. Раскроем скобки:

$\frac{5x}{3} + 20 - 5x > 8 - 2x + 13$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$\frac{5x}{3} - 5x + 20 > 21 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{5x}{3} - 5x + 2x > 21 - 20$

$\frac{5x}{3} - 3x > 1$

$\frac{5x - 9x}{3} > 1$

$\frac{-4x}{3} > 1$

Умножим на 3:

$-4x > 3$

Разделим на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{3}{4}$

Получили систему $x \ge -\frac{1}{13}$ и $x < -\frac{3}{4}$. Поскольку $-\frac{1}{13} \approx -0,077$, а $-\frac{3}{4} = -0,75$, то $-\frac{1}{13} > -\frac{3}{4}$. Не существует числа, которое одновременно больше или равно $-\frac{1}{13}$ и меньше $-\frac{3}{4}$.

Ответ: нет решений.

4) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - 1,2 \\ \frac{2x + 9}{7} > \frac{5x - 3}{4} \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,4 = \frac{2}{5}$, $1,2 = \frac{6}{5}$.

$\frac{2}{5}x + \frac{7}{3} < \frac{2}{3}x - \frac{6}{5}$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$\frac{7}{3} + \frac{6}{5} < \frac{2}{3}x - \frac{2}{5}x$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{35 + 18}{15} < \frac{10x - 6x}{15}$

$\frac{53}{15} < \frac{4x}{15}$

Умножим обе части на 15:

$53 < 4x$

$x > \frac{53}{4}$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на общий знаменатель 28:

$4(2x + 9) > 7(5x - 3)$

Раскроем скобки:

$8x + 36 > 35x - 21$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$36 + 21 > 35x - 8x$

$57 > 27x$

Разделим обе части на 27 и сократим дробь:

$x < \frac{57}{27} = \frac{19}{9}$

Получили систему $x > \frac{53}{4}$ и $x < \frac{19}{9}$. Сравним дроби: $\frac{53}{4} = 13\frac{1}{4}$, а $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$. Не существует числа, которое одновременно больше $13\frac{1}{4}$ и меньше $2\frac{1}{9}$.

Ответ: нет решений.

305. Сумма чётного числа с утроенным последующим чётным числом больше 134, а сумма этого же чётного числа с удвоенным предыдущим чётным числом меньше 104. Найти это число.

Пусть искомое чётное число равно $x$. Тогда последующее за ним чётное число будет $x + 2$, а предыдущее ему чётное число — $x - 2$.

Из первого условия задачи известно, что сумма искомого числа с утроенным последующим чётным числом больше 134. Составим и решим первое неравенство:
$x + 3(x + 2) > 134$
$x + 3x + 6 > 134$
$4x + 6 > 134$
$4x > 128$
$x > \frac{128}{4}$
$x > 32$

Из второго условия известно, что сумма этого же числа с удвоенным предыдущим чётным числом меньше 104. Составим и решим второе неравенство:
$x + 2(x - 2) < 104$
$x + 2x - 4 < 104$
$3x - 4 < 104$
$3x < 108$
$x < \frac{108}{3}$
$x < 36$

Объединим результаты в систему неравенств:
$\begin{cases} x > 32 \\ x < 36 \end{cases}$
Таким образом, искомое число $x$ находится в интервале $(32; 36)$. По условию, это число является чётным. Единственное чётное число, которое удовлетворяет данному интервалу, это 34.

Выполним проверку.
Искомое число: 34.
Последующее чётное число: 36.
Предыдущее чётное число: 32.
1) $34 + 3 \cdot 36 = 34 + 108 = 142$. $142 > 134$ (верно).
2) $34 + 2 \cdot 32 = 34 + 64 = 98$. $98 < 104$ (верно).
Оба условия выполняются.

Ответ: 34

306. Сумма нечётного числа с удвоенным последующим нечётным числом меньше 151, а сумма этого же нечётного числа с утроенным предыдущим нечётным числом больше 174. Найти это число.

Пусть искомое нечётное число равно $x$. Поскольку нечётные числа отличаются на 2, то последующее нечётное число будет равно $x + 2$, а предыдущее нечётное число — $x - 2$.

Согласно первому условию задачи, сумма искомого числа с удвоенным последующим нечётным числом меньше 151. Запишем это в виде неравенства:
$x + 2(x + 2) < 151$
Решим это неравенство:
$x + 2x + 4 < 151$
$3x + 4 < 151$
$3x < 151 - 4$
$3x < 147$
$x < \frac{147}{3}$
$x < 49$

Согласно второму условию, сумма этого же нечётного числа с утроенным предыдущим нечётным числом больше 174. Запишем второе неравенство:
$x + 3(x - 2) > 174$
Решим его:
$x + 3x - 6 > 174$
$4x - 6 > 174$
$4x > 174 + 6$
$4x > 180$
$x > \frac{180}{4}$
$x > 45$

Объединим полученные результаты в систему неравенств:
$\begin{cases} x < 49 \\ x > 45 \end{cases}$
Таким образом, искомое число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству $45 < x < 49$.

По условию задачи, $x$ — это нечётное число. В интервале от 45 до 49 находится только одно нечётное число — 47.

Проверим найденное значение:
1) Сумма 47 с удвоенным последующим нечётным (49): $47 + 2 \cdot 49 = 47 + 98 = 145$. $145 < 151$. Условие выполняется.
2) Сумма 47 с утроенным предыдущим нечётным (45): $47 + 3 \cdot 45 = 47 + 135 = 182$. $182 > 174$. Условие выполняется.
Следовательно, искомое число — 47.
Ответ: 47

307. Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей, а за 10 дней — больше 500 деталей. Сколько деталей в день изготовил каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и производительность труда рабочих одинакова?

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал один рабочий в день. Поскольку в бригаде 8 человек и производительность труда у всех одинаковая, то за один день вся бригада изготавливала $8x$ деталей.

Согласно первому условию, за 5 дней бригада изготовила меньше 300 деталей. Общее количество деталей, изготовленных за 5 дней, равно $5 \cdot 8x = 40x$. Составим первое неравенство:
$40x < 300$
Разделим обе части на 40:
$x < \frac{300}{40}$
$x < 7.5$

Согласно второму условию, за 10 дней бригада изготовила больше 500 деталей. Общее количество деталей, изготовленных за 10 дней, равно $10 \cdot 8x = 80x$. Составим второе неравенство:
$80x > 500$
Разделим обе части на 80:
$x > \frac{500}{80}$
$x > \frac{50}{8}$
$x > 6.25$

Мы получили систему неравенств, которой должно удовлетворять значение $x$:
$ \begin{cases} x < 7.5 \\ x > 6.25 \end{cases} $
Это означает, что $6.25 < x < 7.5$.

Поскольку $x$ (количество деталей) должно быть целым числом, то единственное целое число, которое находится в интервале от 6.25 до 7.5, — это 7.

Проверим найденное значение:
Если каждый рабочий изготавливал 7 деталей в день, то вся бригада (8 человек) изготавливала $8 \cdot 7 = 56$ деталей в день.
За 5 дней бригада изготовит $56 \cdot 5 = 280$ деталей. Это меньше 300 ($280 < 300$).
За 10 дней бригада изготовит $56 \cdot 10 = 560$ деталей. Это больше 500 ($560 > 500$).
Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 7 деталей.

308. За 8 рейсов автобус перевёз больше 185 пассажиров, а за 15 рейсов — меньше 370 пассажиров. Сколько мест в автобусе, если в каждом рейсе автобус перевозил ровно столько пассажиров, сколько мест в автобусе?

Пусть $x$ — количество мест в автобусе. По условию задачи, в каждом рейсе автобус перевозил ровно столько пассажиров, сколько в нём мест. Следовательно, за один рейс автобус перевозил $x$ пассажиров. Количество мест $x$ должно быть целым числом.

Составим математическую модель на основе данных из задачи.

1. За 8 рейсов автобус перевёз больше 185 пассажиров. Количество пассажиров, перевезенных за 8 рейсов, равно $8x$. Получаем первое неравенство:
$8x > 185$

2. За 15 рейсов автобус перевёз меньше 370 пассажиров. Количество пассажиров, перевезенных за 15 рейсов, равно $15x$. Получаем второе неравенство:
$15x < 370$

Мы получили систему из двух неравенств с одной переменной $x$:
$ \begin{cases} 8x > 185 \\ 15x < 370 \end{cases} $
Решим каждое неравенство.

Из первого неравенства:
$x > \frac{185}{8}$
$x > 23.125$

Из второго неравенства:
$x < \frac{370}{15}$
Для удобства вычислений можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$x < \frac{74}{3}$
$x < 24\frac{2}{3}$ или $x < 24.666...$

Объединим полученные результаты. Количество мест $x$ должно быть больше 23.125 и меньше 24.666...:
$23.125 < x < 24.666...$

Так как $x$ (количество мест) должно быть целым числом, то единственное целое число, удовлетворяющее этому двойному неравенству, — это 24.

Проверим это решение:
Если в автобусе 24 места, то за 8 рейсов он перевезёт $8 \times 24 = 192$ пассажира. $192 > 185$, что соответствует первому условию.
За 15 рейсов он перевезёт $15 \times 24 = 360$ пассажиров. $360 < 370$, что соответствует второму условию.
Оба условия выполняются.

Ответ: 24.