Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Найти погрешность приближения числа $2,48$ числом $2,5$.

4. Погрешность приближения, также известная как абсолютная погрешность, представляет собой модуль разности между точным значением и его приближенным значением.
Формула для вычисления абсолютной погрешности $\Delta$ выглядит следующим образом:
$\Delta = |x_{точное} - x_{приближенное}|$
В данной задаче нам даны:
Точное значение: $x_{точное} = 2,48$
Приближенное значение: $x_{приближенное} = 2,5$
Теперь подставим эти значения в формулу и произведем вычисление:
$\Delta = |2,48 - 2,5|$
$\Delta = |-0,02|$
$\Delta = 0,02$
Следовательно, погрешность приближения числа $2,48$ числом $2,5$ составляет $0,02$.
Ответ: $0,02$.

5. Доказать, что при любых значениях $a$ верно неравенство

$(a-2)(a^2+a+4) < a^3$

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть, раскрыв скобки, а затем упростим полученное выражение.

Исходное неравенство:

$(a-2)(a^2+a+4) < a^3$

Выполним умножение многочленов в левой части:

$a \cdot (a^2+a+4) - 2 \cdot (a^2+a+4) < a^3$

$a^3 + a^2 + 4a - 2a^2 - 2a - 8 < a^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2 - 2a^2) + (4a - 2a) - 8 < a^3$

$a^3 - a^2 + 2a - 8 < a^3$

Теперь перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$a^3 - a^2 + 2a - 8 - a^3 < 0$

$-a^2 + 2a - 8 < 0$

Мы получили равносильное квадратичное неравенство. Чтобы доказать, что оно верно для любого значения $a$, умножим обе его части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 2a + 8 > 0$

Докажем истинность этого неравенства, выделив в его левой части полный квадрат:

$a^2 - 2a + 8 = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 8 = (a-1)^2 + 7$

Теперь неравенство имеет вид:

$(a-1)^2 + 7 > 0$

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(a-1)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ при любом $a$.
2. Наименьшее возможное значение выражения $(a-1)^2$ равно $0$ (при $a=1$).
3. Прибавляя к неотрицательному значению $(a-1)^2$ положительное число $7$, мы получаем сумму, которая всегда будет больше или равна $7$. То есть, $(a-1)^2 + 7 \ge 0 + 7 = 7$.

Поскольку $7 > 0$, то и выражение $(a-1)^2 + 7$ всегда строго больше нуля для любого действительного значения $a$.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $a^2 - 2a + 8 > 0$ верно для всех $a$, а значит, и равносильное ему исходное неравенство $(a-2)(a^2+a+4) < a^3$ также верно при любых значениях $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

6. Пусть $a>5$, $b>1$, $c>3$. Доказать, что $2a+3bc>15$.

Для доказательства заданного неравенства воспользуемся свойствами числовых неравенств, применяя их последовательно к данным в условии: $a > 5$, $b > 1$ и $c > 3$. Мы оценим нижнюю границу для каждого слагаемого в выражении $2a + 3bc$.

1. Оценим слагаемое $2a$. Нам дано, что $a > 5$. Умножим обе части этого неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится: $a > 5 \implies 2 \cdot a > 2 \cdot 5 \implies 2a > 10$.

2. Оценим слагаемое $3bc$. Из условий $b > 1$ и $c > 3$ следует, что переменные $b$ и $c$ положительны. Мы можем перемножить эти два неравенства, так как их левые и правые части положительны: $b \cdot c > 1 \cdot 3 \implies bc > 3$. Теперь умножим обе части полученного неравенства $bc > 3$ на положительное число 3: $3 \cdot (bc) > 3 \cdot 3 \implies 3bc > 9$.

3. Теперь мы имеем два строгих неравенства: $2a > 10$ и $3bc > 9$. Мы можем их сложить, складывая левые части с левыми, а правые — с правыми: $2a + 3bc > 10 + 9$. $2a + 3bc > 19$.

Мы получили, что выражение $2a + 3bc$ строго больше 19. Поскольку $19 > 15$, то из неравенства $2a + 3bc > 19$ автоматически следует, что $2a + 3bc > 15$.

Ответ: Что и требовалось доказать. Из исходных условий следует, что $2a > 10$ и $3bc > 9$, при сложении этих неравенств получаем $2a + 3bc > 19$, а так как $19 > 15$, то доказываемое неравенство $2a + 3bc > 15$ верно.

7. Решить неравенство:

а) $\frac{-5,6}{3x-8} > 0$;

б) $\frac{x+5}{2} - 1 \le \frac{3x-7}{4}$.

a) Решим неравенство $\frac{-5,6}{3x - 8} > 0$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель дроби, $-5,6$, является отрицательным числом. Следовательно, для того чтобы вся дробь была больше нуля, знаменатель также должен быть отрицательным.

Составим и решим неравенство для знаменателя:

$3x - 8 < 0$

Перенесем $-8$ в правую часть, изменив знак:

$3x < 8$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{8}{3}$

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-\infty; \frac{8}{3})$.

Ответ: $(-\infty; \frac{8}{3})$

б) Решим неравенство $\frac{x + 5}{2} - 1 \le \frac{3x - 7}{4}$.

Сначала приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2}{2} \le \frac{3x - 7}{4}$

$\frac{x + 5 - 2}{2} \le \frac{3x - 7}{4}$

$\frac{x + 3}{2} \le \frac{3x - 7}{4}$

Теперь умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется:

$4 \cdot \frac{x + 3}{2} \le 4 \cdot \frac{3x - 7}{4}$

$2(x + 3) \le 3x - 7$

Раскроем скобки:

$2x + 6 \le 3x - 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы сгруппировать их:

$6 + 7 \le 3x - 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$13 \le x$, что эквивалентно $x \ge 13$.

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка $[13; +\infty)$.

Ответ: $[13; +\infty)$

8. Решить систему неравенств:

a) $\begin{cases}9x + 5 \le 7x - 4, \\15 - 2x > 3x + 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}0,6x - 1,2 < 1,1x + 2,1, \\2,3 + 1,7x \le 1,5x + 3.\end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 9x + 5 \le 7x - 4, \\ 15 - 2x > 3x + 1 \end{cases} $
Для этого решим каждое неравенство по отдельности.
1. Первое неравенство:
$9x + 5 \le 7x - 4$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$9x - 7x \le -4 - 5$
Приведем подобные слагаемые:
$2x \le -9$
Разделим обе части на 2:
$x \le -4,5$

2. Второе неравенство:
$15 - 2x > 3x + 1$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$15 - 1 > 3x + 2x$
Приведем подобные слагаемые:
$14 > 5x$
Разделим обе части на 5:
$2,8 > x$, что равносильно $x < 2,8$

3. Найдем пересечение решений. Решением системы является множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно: $x \le -4,5$ и $x < 2,8$.
Поскольку любое число, которое меньше или равно -4,5, также меньше 2,8, то пересечением этих двух множеств будет $x \le -4,5$.
В виде интервала это записывается как $(-\infty; -4,5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -4,5]$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,6x - 1,2 < 1,1x + 2,1, \\ 2,3 + 1,7x \le 1,5x + 3 \end{cases} $
Решим каждое неравенство по отдельности.
1. Первое неравенство:
$0,6x - 1,2 < 1,1x + 2,1$
Для удобства вычислений умножим обе части неравенства на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$10 \cdot (0,6x - 1,2) < 10 \cdot (1,1x + 2,1)$
$6x - 12 < 11x + 21$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-12 - 21 < 11x - 6x$
$-33 < 5x$
$-6,6 < x$, или $x > -6,6$

2. Второе неравенство:
$2,3 + 1,7x \le 1,5x + 3$
Также умножим обе части на 10:
$10 \cdot (2,3 + 1,7x) \le 10 \cdot (1,5x + 3)$
$23 + 17x \le 15x + 30$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$17x - 15x \le 30 - 23$
$2x \le 7$
$x \le 3,5$

3. Найдем пересечение решений: $x > -6,6$ и $x \le 3,5$.
Это значит, что $x$ должен быть одновременно больше -6,6 и меньше либо равен 3,5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-6,6 < x \le 3,5$.
В виде интервала это записывается как $(-6,6; 3,5]$.
Ответ: $x \in (-6,6; 3,5]$.

9. Решить неравенство:

а) $|x - 2| < 8$;

б) $|4x + 1| \ge 5$.

а)

Данное неравенство $|x-2|<8$ является неравенством с модулем вида $|A| < B$, где $B>0$. Такое неравенство равносильно системе неравенств или двойному неравенству $-B < A < B$.

Применим это правило:

$-8 < x - 2 < 8$

Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям двойного неравенства число 2:

$-8 + 2 < x - 2 + 2 < 8 + 2$

$-6 < x < 10$

Решением неравенства является числовой промежуток от -6 до 10, не включая концы.

Ответ: $x \in (-6; 10)$.

б)

Данное неравенство $|4x+1| \ge 5$ является неравенством с модулем вида $|A| \ge B$, где $B \ge 0$. Такое неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

Применим это правило и решим получившуюся совокупность:

$ \begin{cases} 4x+1 \ge 5 \\ 4x+1 \le -5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$4x+1 \ge 5$

$4x \ge 5-1$

$4x \ge 4$

$x \ge 1$

Решим второе неравенство:

$4x+1 \le -5$

$4x \le -5-1$

$4x \le -6$

$x \le \frac{-6}{4}$

$x \le -1.5$

Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [1; +\infty)$.

10. Доказать, что число 0,27 является приближённым значением дроби $\frac{4}{15}$ с точностью до 0,01.

Для того чтобы доказать, что число $0,27$ является приближенным значением дроби $\frac{4}{15}$ с точностью до $0,01$, необходимо показать, что модуль разности между точным значением и приближенным значением меньше заданной точности. Это выражается неравенством:

$|\frac{4}{15} - 0,27| < 0,01$

Для проверки этого неравенства вычислим значение выражения в левой части. Сначала представим десятичную дробь $0,27$ в виде обыкновенной дроби: $0,27 = \frac{27}{100}$.

Теперь найдем разность:

$|\frac{4}{15} - \frac{27}{100}|$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 100 это 300.

$|\frac{4 \cdot 20}{15 \cdot 20} - \frac{27 \cdot 3}{100 \cdot 3}| = |\frac{80}{300} - \frac{81}{300}| = |-\frac{1}{300}| = \frac{1}{300}$

Теперь сравним полученную абсолютную погрешность $\frac{1}{300}$ с заданной точностью $0,01$. Представим точность в виде обыкновенной дроби: $0,01 = \frac{1}{100}$.

Сравниваем дроби $\frac{1}{300}$ и $\frac{1}{100}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Поскольку $300 > 100$, то:

$\frac{1}{300} < \frac{1}{100}$

Следовательно, $\frac{1}{300} < 0,01$.

Так как абсолютная погрешность оказалась меньше заданной точности, исходное неравенство $|\frac{4}{15} - 0,27| < 0,01$ является верным.

Ответ: Утверждение доказано, поскольку абсолютная погрешность $|\frac{4}{15} - 0,27| = \frac{1}{300}$ меньше заданной точности $0,01$.

11. Пусть $a<b$ и числа $a$ и $b$ - отрицательные. Доказать, что $a^4 > b^4$.

По условию задачи нам даны два отрицательных числа $a$ и $b$, для которых выполняется неравенство $a < b$. Это можно записать в виде системы условий:

• $a < b$
• $a < 0$
• $b < 0$

Из этих условий следует, что $a < b < 0$. Нам необходимо доказать, что $a^4 > b^4$.

Для доказательства этого неравенства рассмотрим разность его левой и правой частей: $a^4 - b^4$. Если мы докажем, что эта разность положительна, то утверждение $a^4 > b^4$ будет верным.

Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для того, чтобы разложить выражение $a^4 - b^4$ на множители.

$$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$$

Применим формулу разности квадратов еще раз к выражению $(a^2 - b^2)$:

$$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$$

Теперь определим знак каждого из трех полученных множителей, исходя из заданных условий $a < b < 0$:

1. Знак множителя $(a - b)$. Поскольку по условию $a < b$, то если из меньшего числа вычесть большее, результат будет отрицательным. Следовательно, $a - b < 0$.
2. Знак множителя $(a + b)$. По условию, оба числа $a$ и $b$ являются отрицательными. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $a + b < 0$.
3. Знак множителя $(a^2 + b^2)$. Квадрат любого ненулевого числа — это положительное число. Так как $a < 0$ и $b < 0$, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

Теперь мы можем определить знак всей разности $a^4 - b^4$, перемножив знаки множителей:

$$a^4 - b^4 = \underbrace{(a - b)}_{< 0} \cdot \underbrace{(a + b)}_{< 0} \cdot \underbrace{(a^2 + b^2)}_{> 0}$$

Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. При умножении этого положительного результата на другое положительное число $(a^2 + b^2)$ итоговый результат также будет положительным.

Таким образом, мы получаем:

$$a^4 - b^4 > 0$$

Из этого неравенства следует, что $a^4 > b^4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разложив разность $a^4 - b^4$ на множители $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ и проанализировав их знаки на основе условий $a < b < 0$, мы установили, что $(a - b) < 0$, $(a + b) < 0$ и $(a^2 + b^2) > 0$. Произведение этих множителей положительно, следовательно, $a^4 - b^4 > 0$, что эквивалентно $a^4 > b^4$.

12. Доказать, что $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$, если $ab > 0$.

Утверждение, представленное в задаче, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$ при $ab>0$, в общем виде неверно. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть контрпример. Пусть $a=1$ и $b=2$. Условие $ab>0$ выполняется, так как $1 \cdot 2 = 2 > 0$. Однако, при подстановке в левую часть неравенства, получаем:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1} = 0.5 + 2 = 2.5$

Поскольку $2.5 \not\le 2$, исходное утверждение ложно.

Данное в задаче неравенство выполняется только в одном частном случае: когда $a=b$. В этом случае $\frac{a}{a} + \frac{a}{a} = 1 + 1 = 2$, и неравенство $2 \le 2$ становится верным.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и требовалось доказать обратное неравенство, которое является известным следствием из неравенства о средних (неравенство Коши):

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ при $ab>0$.

Приведем доказательство этого исправленного утверждения.

Доказательство

Необходимо доказать, что $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$, если $ab > 0$.
Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем 2 в левую часть:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \ge 0$

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

В числителе дроби мы можем распознать формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Подставим ее в наше выражение:

$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство:

1. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.

2. Знаменатель $ab$ по условию задачи является положительным числом, то есть $ab>0$.

Отношение неотрицательного числа (числителя) к положительному числу (знаменателю) всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ является верным для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $ab>0$.

Следовательно, и равносильное ему неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ также верно. Равенство в данном неравенстве достигается только тогда, когда числитель равен нулю, то есть $(a-b)^2 = 0$, что возможно только при $a=b$.

Ответ: Утверждение в задаче $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le 2$ при $ab>0$ в общем случае неверно. Оно справедливо только при $a=b$. Вероятно, в условии была опечатка и имелось в виду неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$, которое справедливо для всех $a, b$ таких, что $ab>0$, что и было доказано выше.

13. При каких значениях $x$ точки графика функции $y = \frac{1}{2}x - 8$ лежат ниже точек графика функции $y = -\frac{3}{2}x + 5?$

Чтобы найти значения $x$, при которых точки графика функции $y = \frac{1}{2}x - 8$ лежат ниже точек графика функции $y = -\frac{3}{2}x + 5$, необходимо решить неравенство, в котором значение первой функции будет меньше значения второй:

$\frac{1}{2}x - 8 < -\frac{3}{2}x + 5$

Для удобства решения избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части неравенства на 2 (наименьший общий знаменатель дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$):

$2 \cdot (\frac{1}{2}x - 8) < 2 \cdot (-\frac{3}{2}x + 5)$

$x - 16 < -3x + 10$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части неравенства, а числовые слагаемые — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный:

$x + 3x < 10 + 16$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$4x < 26$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 4. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{26}{4}$

Сократим полученную дробь:

$x < \frac{13}{2}$

Это означает, что неравенство выполняется для всех значений $x$, которые меньше 6,5.

Ответ: $x < 6.5$ (или в виде интервала $x \in (-\infty; 6.5)$).

14. Решить двойное неравенство $-1 \le 5 - 0,2x \le 3$.

Чтобы решить двойное неравенство $ -1 \le 5 - 0,2x \le 3 $, необходимо выполнить эквивалентные преобразования со всеми тремя его частями, чтобы изолировать переменную $x$ в центральной части.

Сначала вычтем 5 из каждой части неравенства:

$ -1 - 5 \le 5 - 0,2x - 5 \le 3 - 5 $

После упрощения получим:

$ -6 \le -0,2x \le -2 $

Далее, разделим все три части неравенства на коэффициент при $x$, равный $-0,2$. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные (то есть $ \le $ станет $ \ge $):

$ \frac{-6}{-0,2} \ge \frac{-0,2x}{-0,2} \ge \frac{-2}{-0,2} $

Выполнив вычисления, получим:

$ 30 \ge x \ge 10 $

Для удобства принято записывать двойные неравенства так, чтобы меньшее число было слева. Перепишем результат в стандартном виде:

$ 10 \le x \le 30 $

Это означает, что решением являются все числа из отрезка от 10 до 30, включая оба конца. В виде интервальной записи это выглядит так:

Ответ: $x \in [10; 30]$

15. Решить неравенство $|4x-3|<3x+1$.

Для решения неравенства $|4x - 3| < 3x + 1$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Применив это свойство к исходному неравенству, получим:

$-(3x + 1) < 4x - 3 < 3x + 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух линейных неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 3 < 3x + 1 \\ 4x - 3 > -(3x + 1) \end{cases} $

Решим каждое неравенство этой системы по отдельности.

Решение первого неравенства:

$4x - 3 < 3x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 3x < 1 + 3$

$x < 4$

Решение второго неравенства:

$4x - 3 > -(3x + 1)$

Сначала раскроем скобки в правой части:

$4x - 3 > -3x - 1$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x + 3x > -1 + 3$

$7x > 2$

Разделим обе части на 7:

$x > \frac{2}{7}$

Решением исходного неравенства является пересечение решений двух полученных неравенств. Таким образом, мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 4$ и $x > \frac{2}{7}$.

Объединяя эти два условия, получаем интервал: $\frac{2}{7} < x < 4$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{7}; 4)$.

16. Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,001 число $2\frac{3}{7}$.

Чтобы представить смешанное число $2\frac{3}{7}$ в виде десятичной дроби с точностью до 0,001, необходимо сперва перевести дробную часть $\frac{3}{7}$ в десятичный формат. Это делается путем деления числителя 3 на знаменатель 7.

Поскольку в задании указана точность до 0,001 (до тысячных), нам нужно вычислить результат деления как минимум до четвертого знака после запятой, чтобы правильно выполнить округление.

Выполним деление: $3 \div 7 = 0,4285...$

Теперь необходимо округлить полученное число $0,4285...$ до третьего знака после запятой. Смотрим на четвертую цифру после запятой — это 5. Согласно правилам математического округления, если следующая за округляемой цифра равна 5 или больше, то округляемая цифра увеличивается на единицу. В нашем случае цифра 8 в разряде тысячных увеличивается до 9.

Таким образом, $\frac{3}{7} \approx 0,429$.

Теперь прибавим целую часть исходного числа, равную 2:

$2\frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7} \approx 2 + 0,429 = 2,429$.

Ответ: $2,429$.