Номер 15, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 2. Неравенства - номер 15, страница 113.

Условие.

15. Решить неравенство $|4x-3|<3x+1$.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства $|4x - 3| < 3x + 1$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

Применив это свойство к исходному неравенству, получим:

$-(3x + 1) < 4x - 3 < 3x + 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух линейных неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 3 < 3x + 1 \\ 4x - 3 > -(3x + 1) \end{cases} $

Решим каждое неравенство этой системы по отдельности.

Решение первого неравенства:

$4x - 3 < 3x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x - 3x < 1 + 3$

$x < 4$

Решение второго неравенства:

$4x - 3 > -(3x + 1)$

Сначала раскроем скобки в правой части:

$4x - 3 > -3x - 1$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$4x + 3x > -1 + 3$

$7x > 2$

Разделим обе части на 7:

$x > \frac{2}{7}$

Решением исходного неравенства является пересечение решений двух полученных неравенств. Таким образом, мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 4$ и $x > \frac{2}{7}$.

Объединяя эти два условия, получаем интервал: $\frac{2}{7} < x < 4$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{7}; 4)$.