Номер 2, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 2, страница 118.

Условие.

2. Вычислить:

1) $\frac{2^5 \cdot 2^7}{2^8}$;

2) $\frac{(3^2 \cdot 5)^4}{3^6 \cdot 5^5}$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$
Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{12}}{2^8}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} = 2^4$
Вычислим полученное значение:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Ответ: 16

2) Для решения этого примера также применим свойства степеней. Сначала раскроем скобки в числителе. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(3^2 \cdot 5)^4 = (3^2)^4 \cdot 5^4$
При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$
Таким образом, числитель равен $3^8 \cdot 5^4$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{3^8 \cdot 5^4}{3^6 \cdot 5^5}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^8}{3^6} \cdot \frac{5^4}{5^5} = 3^{8-6} \cdot 5^{4-5} = 3^2 \cdot 5^{-1}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^2 \cdot 5^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$
Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $\frac{9}{5} = 1.8$.
Ответ: $\frac{9}{5}$