Номер 320, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 320, страница 119.

Условие.

320. 1) $3^{-1} + (-2)^{-2};$

2) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} - 4^{-2};$

3) $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-5};$

4) $(-0,1)^{-3} - (-0,2)^{-3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $3^{-1} + (-2)^{-2}$

Для решения этого примера воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Сначала вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$.

Второе слагаемое: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$. Обратите внимание, что четная степень отрицательного числа дает положительный результат.

Теперь сложим полученные дроби: $3^{-1} + (-2)^{-2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 - это 12.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

2) $(\frac{2}{3})^{-3} - 4^{-2}$

Для решения воспользуемся правилами для степеней с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Вычислим уменьшаемое: $(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Вычислим вычитаемое: $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{27}{8} - \frac{1}{16}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{16} = \frac{27 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{1}{16} = \frac{54}{16} - \frac{1}{16} = \frac{54-1}{16} = \frac{53}{16}$.

Ответ: $\frac{53}{16}$.

3) $(0,2)^{-2} + (0,5)^{-5}$

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{1}{5})^{-2} + (\frac{1}{2})^{-5}$.

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем для дроби $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Вычислим первое слагаемое: $(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.

Вычислим второе слагаемое: $(\frac{1}{2})^{-5} = (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32$.

Сложим полученные значения: $25 + 32 = 57$.

Ответ: 57.

4) $(-0,1)^3 - (-0,2)^{-3}$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений.

$-0,1 = -\frac{1}{10}$

$-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$

Выражение принимает вид: $(-\frac{1}{10})^3 - (-\frac{1}{5})^{-3}$.

Вычислим уменьшаемое. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется:

$(-\frac{1}{10})^3 = -\frac{1^3}{10^3} = -\frac{1}{1000} = -0,001$.

Теперь вычислим вычитаемое. Сначала применим правило для отрицательной степени:

$(-\frac{1}{5})^{-3} = (-\frac{5}{1})^3 = (-5)^3$.

Возведем в куб. Так как степень нечетная (3), знак минус сохраняется: $(-5)^3 = -125$.

Теперь выполним вычитание: $-0,001 - (-125) = -0,001 + 125$.

Выполним сложение: $125 - 0,001 = 124,999$.

Ответ: 124,999.