Номер 327, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 327, страница 119.

Условие.

327. Возвести в степень частное:

1) $\left(\frac{a^8}{b^7}\right)^{-2}$;

2) $\left(\frac{m^{-4}}{n^{-5}}\right)^{-3}$;

3) $\left(\frac{2x^6}{3y^{-4}}\right)^{2}$;

4) $\left(\frac{-4x^{-5}y}{z^3}\right)^{3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)Чтобы возвести частное $(\frac{a^8}{b^7})^{-2}$ в степень, воспользуемся свойством степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Сначала возводим в степень -2 и числитель, и знаменатель дроби:
$(\frac{a^8}{b^7})^{-2} = \frac{(a^8)^{-2}}{(b^7)^{-2}}$
Затем применяем правило возведения степени в степень, перемножая показатели:
$\frac{a^{8 \cdot (-2)}}{b^{7 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-16}}{b^{-14}}$
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перемещаем множители с отрицательными степенями из числителя в знаменатель и наоборот, меняя знак степени на положительный:
$\frac{a^{-16}}{b^{-14}} = \frac{b^{14}}{a^{16}}$
Ответ: $\frac{b^{14}}{a^{16}}$

2)Для выражения $(\frac{m^{-4}}{n^{-5}})^{-3}$ применим те же правила.
Возводим числитель и знаменатель в степень -3:
$(\frac{m^{-4}}{n^{-5}})^{-3} = \frac{(m^{-4})^{-3}}{(n^{-5})^{-3}}$
Перемножаем показатели степеней. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число:
$\frac{m^{(-4) \cdot (-3)}}{n^{(-5) \cdot (-3)}} = \frac{m^{12}}{n^{15}}$
В данном случае все степени получились положительными, поэтому дальнейшее упрощение не требуется.
Ответ: $\frac{m^{12}}{n^{15}}$

3)Рассмотрим выражение $(\frac{2x^6}{3y^{-4}})^2$. Здесь в числителе и знаменателе находятся произведения.
Используем свойство возведения произведения в степень $(abc)^n = a^n b^n c^n$.
Возводим в квадрат числитель и знаменатель:
$(\frac{2x^6}{3y^{-4}})^2 = \frac{(2x^6)^2}{(3y^{-4})^2} = \frac{2^2 \cdot (x^6)^2}{3^2 \cdot (y^{-4})^2}$
Вычисляем степени коэффициентов и перемножаем показатели степеней у переменных:
$\frac{4 \cdot x^{6 \cdot 2}}{9 \cdot y^{-4 \cdot 2}} = \frac{4x^{12}}{9y^{-8}}$
Чтобы избавиться от отрицательной степени в знаменателе, переносим $y^{-8}$ в числитель, изменив знак степени на положительный:
$\frac{4x^{12}y^8}{9}$
Ответ: $\frac{4x^{12}y^8}{9}$

4)Решим для выражения $(\frac{-4x^{-5}y}{z^3})^3$.
Возводим в куб каждый множитель в числителе и знаменатель в целом:
$(\frac{-4x^{-5}y}{z^3})^3 = \frac{(-4x^{-5}y)^3}{(z^3)^3} = \frac{(-4)^3 \cdot (x^{-5})^3 \cdot y^3}{(z^3)^3}$
Выполняем вычисления. Обратите внимание, что $(-4)^3 = -64$, так как отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным.
$\frac{-64 \cdot x^{-5 \cdot 3} \cdot y^3}{z^{3 \cdot 3}} = \frac{-64x^{-15}y^3}{z^9}$
Переменную $x$ с отрицательной степенью переносим из числителя в знаменатель, меняя знак степени на положительный:
$\frac{-64y^3}{x^{15}z^9}$
Знак минус можно вынести перед всей дробью.
Ответ: $-\frac{64y^3}{x^{15}z^9}$