Номер 331, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 331, страница 120.

Условие.

331. Вычислить:

1) $(((-20)^7)^{-7} : ((-20)^{-6})^8 + 2^{-2};$

2) $(((-17)^{-4})^{-6} : ((-17)^{-13})^{-2} - \left(\frac{1}{17}\right)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим выражение $ ((-20)^7)^{-7} : ((-20)^{-6})^8 + 2^{-2} $ по действиям.

Сначала упростим выражения в скобках, используя свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Для первого слагаемого:

$ ((-20)^7)^{-7} = (-20)^{7 \cdot (-7)} = (-20)^{-49} $

Для делителя:

$ ((-20)^{-6})^8 = (-20)^{-6 \cdot 8} = (-20)^{-48} $

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $ a^m : a^n = a^{m-n} $:

$ (-20)^{-49} : (-20)^{-48} = (-20)^{-49 - (-48)} = (-20)^{-49 + 48} = (-20)^{-1} $

Выражение принимает вид: $ (-20)^{-1} + 2^{-2} $.

Теперь вычислим значения слагаемых, используя правило отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ (-20)^{-1} = \frac{1}{(-20)^1} = -\frac{1}{20} $

$ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} $

Выполним сложение полученных дробей, приведя их к общему знаменателю 20:

$ -\frac{1}{20} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{20} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{1}{20} + \frac{5}{20} = \frac{-1+5}{20} = \frac{4}{20} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

2) Решим выражение $ ((-17)^{-4})^{-6} : ((-17)^{-13})^{-2} - (-\frac{1}{17})^2 $ по действиям.

Сначала упростим выражения в скобках, используя свойство возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

Для делимого:

$ ((-17)^{-4})^{-6} = (-17)^{(-4) \cdot (-6)} = (-17)^{24} $

Для делителя:

$ ((-17)^{-13})^{-2} = (-17)^{(-13) \cdot (-2)} = (-17)^{26} $

Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $ a^m : a^n = a^{m-n} $:

$ (-17)^{24} : (-17)^{26} = (-17)^{24 - 26} = (-17)^{-2} $

Выражение принимает вид: $ (-17)^{-2} - (-\frac{1}{17})^2 $.

Вычислим значение первого члена. Так как показатель степени (-2) четный, знак основания не влияет на результат. Используем правило отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:

$ (-17)^{-2} = \frac{1}{(-17)^2} = \frac{1}{17^2} = \frac{1}{289} $

Вычислим значение второго члена. Так как показатель степени 2 четный, знак минус в скобках исчезает:

$ (-\frac{1}{17})^2 = (\frac{1}{17})^2 = \frac{1^2}{17^2} = \frac{1}{289} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{1}{289} - \frac{1}{289} = 0 $

Ответ: $ 0 $