Номер 324, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 324, страница 119.

Условие.

324. 1) $9^7 : 9^{10};$

2) $(0,2)^2 : (0,2)^{-2};$

3) $\left(\frac{2}{13}\right)^{-12} : \left(\frac{2}{13}\right)^2;$

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^3 : \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для решения примера $9^7 : 9^{10}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В данном выражении основание $a=9$, показатель делимого $m=7$, а показатель делителя $n=10$.
Применим формулу:
$9^7 : 9^{10} = 9^{7-10} = 9^{-3}$.
Теперь воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-3} = \frac{1}{9^3} = \frac{1}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{1}{729}$.
Ответ: $\frac{1}{729}$.

2) Для решения примера $(0,2)^2 : (0,2)^{-2}$ применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Здесь основание $a=0,2$, показатель делимого $m=2$, а показатель делителя $n=-2$.
Выполним вычитание показателей:
$(0,2)^2 : (0,2)^{-2} = (0,2)^{2 - (-2)} = (0,2)^{2+2} = (0,2)^4$.
Теперь вычислим значение полученного выражения:
$(0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$.
Ответ: $0,0016$.

3) В примере $(\frac{2}{13})^{-12} : (\frac{2}{13})^{2}$ также используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание степени $a=\frac{2}{13}$, показатели $m=-12$ и $n=2$.
Применим формулу:
$(\frac{2}{13})^{-12} : (\frac{2}{13})^{2} = (\frac{2}{13})^{-12-2} = (\frac{2}{13})^{-14}$.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{13})^{-14} = (\frac{13}{2})^{14}$.
Ответ: $(\frac{13}{2})^{14}$.

4) Для решения примера $(\frac{2}{5})^3 : (\frac{2}{5})^{-1}$ снова применяем правило деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание $a=\frac{2}{5}$, показатели степеней $m=3$ и $n=-1$.
Выполним вычитание показателей:
$(\frac{2}{5})^3 : (\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{2}{5})^{3 - (-1)} = (\frac{2}{5})^{3+1} = (\frac{2}{5})^4$.
Теперь возведем дробь в четвертую степень:
$(\frac{2}{5})^4 = \frac{2^4}{5^4} = \frac{16}{625}$.
Ответ: $\frac{16}{625}$.