Номер 329, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 329, страница 119.

Условие.

329. Вычислить значение выражения:

1) $(x^2y^{-2} - 4y^{-2}) \cdot (\frac{1}{y})^{-2}$ при $x=5$, $y=6,7$;

2) $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4) : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$ при $a=2$, $b=-3$.

Решение 1.

Решение 4.

1) Сначала упростим данное выражение $(x^2y^{-2} - 4y^{-2}) \cdot (\frac{1}{y})^{-2}$.

Вынесем общий множитель $y^{-2}$ за скобки в первой части выражения:

$x^2y^{-2} - 4y^{-2} = y^{-2}(x^2 - 4)$.

Упростим вторую часть выражения, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{y})^{-2} = (\frac{y}{1})^2 = y^2$.

Теперь перемножим упрощенные части:

$y^{-2}(x^2 - 4) \cdot y^2$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$y^{-2+2}(x^2 - 4) = y^0(x^2 - 4)$.

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, и $y=6,7 \neq 0$, то $y^0=1$. Выражение упрощается до:

$1 \cdot (x^2 - 4) = x^2 - 4$.

Теперь подставим заданное значение $x=5$ в упрощенное выражение. Обратите внимание, что значение $y$ не влияет на конечный результат.

$x^2 - 4 = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$.

Ответ: 21

2) Сначала упростим выражение $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4) : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$.

Рассмотрим выражение в скобках $((a^2b^{-1})^4 - a^0b^4)$.

Используя свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n = x^n y^n$, упростим первый член:

$(a^2b^{-1})^4 = (a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4 = a^{2 \cdot 4}b^{-1 \cdot 4} = a^8b^{-4}$.

Упростим второй член, зная, что $x^0=1$ для любого $x \neq 0$:

$a^0b^4 = 1 \cdot b^4 = b^4$.

Таким образом, выражение в скобках принимает вид:

$a^8b^{-4} - b^4 = \frac{a^8}{b^4} - b^4$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^8}{b^4} - \frac{b^4 \cdot b^4}{b^4} = \frac{a^8 - b^8}{b^4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$\frac{a^8 - b^8}{b^4} : \frac{a^4 - b^4}{b^2}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^8 - b^8}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^4 - b^4}$.

Разложим числитель $a^8 - b^8$ по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a^4$ и $y=b^4$:

$a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$.

Подставим разложение в выражение:

$\frac{(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)}{b^4} \cdot \frac{b^2}{a^4 - b^4}$.

Сократим общий множитель $(a^4 - b^4)$ и степень $b$:

$\frac{a^4 + b^4}{b^{4-2}} = \frac{a^4 + b^4}{b^2}$.

Теперь подставим значения $a=2$ и $b=-3$ в упрощенное выражение:

$\frac{2^4 + (-3)^4}{(-3)^2} = \frac{16 + 81}{9} = \frac{97}{9}$.

Ответ: $\frac{97}{9}$