Номер 323, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 323, страница 119.

Условие.

Вычислить (323–324).

323. 1) $(\frac{1}{7})^{-3}(\frac{1}{7});$

2) $(-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5})^{-4};$

3) $0.3^7 \cdot 0.3^{-10};$

4) $17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

323.

1) $(\frac{1}{7})^{-3} (\frac{1}{7})$

Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a = \frac{1}{7}$. Первый множитель имеет степень $m = -3$, а второй множитель $(\frac{1}{7})$ можно представить как $(\frac{1}{7})^1$, то есть его степень $n = 1$.

Складываем показатели степеней:

$(\frac{1}{7})^{-3} \cdot (\frac{1}{7})^1 = (\frac{1}{7})^{-3+1} = (\frac{1}{7})^{-2}$

Далее используем свойство степени с отрицательным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{7})^{-2} = (\frac{7}{1})^2 = 7^2 = 49$

Ответ: 49

2) $(-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5})^{-4}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Основание $a = -\frac{1}{5}$. Первый множитель $(-\frac{1}{5})$ можно представить как $(-\frac{1}{5})^1$, его степень $m = 1$. Второй множитель имеет степень $n = -4$.

Складываем показатели степеней:

$(-\frac{1}{5})^1 \cdot (-\frac{1}{5})^{-4} = (-\frac{1}{5})^{1+(-4)} = (-\frac{1}{5})^{-3}$

Применим свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(-\frac{1}{5})^{-3} = (-\frac{5}{1})^3 = (-5)^3 = -125$

Ответ: -125

3) $0,3^7 \cdot 0,3^{-10}$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь основание $a = 0,3$, степени $m = 7$ и $n = -10$.

$0,3^7 \cdot 0,3^{-10} = 0,3^{7+(-10)} = 0,3^{-3}$

Для вычисления представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$. Затем воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$0,3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^3 = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$

Ответ: $\frac{1000}{27}$

4) $17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17$

Используем свойство умножения степеней для трех множителей с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$. Основание $a = 17$. Множитель $17$ можно записать как $17^1$.

Складываем показатели всех степеней:

$17^{-5} \cdot 17^3 \cdot 17^1 = 17^{-5+3+1} = 17^{-1}$

Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$17^{-1} = \frac{1}{17^1} = \frac{1}{17}$

Ответ: $\frac{1}{17}$