Номер 326, страница 119 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 326, страница 119.

Условие.

326. Возвести в степень произведение:

1) $(ab^{-2})^3$;

2) $(a^2b^{-1})^4$;

3) $(2a^2)^{-6}$;

4) $(3a^3)^{-4}.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$
• Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
• Степень с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

1) $(ab^{-2})^3$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить:
$(ab^{-2})^3 = a^3 \cdot (b^{-2})^3$
Теперь возведем степень в степень, для этого показатели степеней перемножаются:
$a^3 \cdot (b^{-2})^3 = a^3 \cdot b^{-2 \cdot 3} = a^3b^{-6}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем, запишем результат в виде дроби:
$a^3b^{-6} = \frac{a^3}{b^6}$
Ответ: $\frac{a^3}{b^6}$

2) $(a^2b^{-1})^4$

Применяем те же свойства. Сначала возводим в степень каждый множитель в скобках:
$(a^2b^{-1})^4 = (a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4$
Затем применяем правило возведения степени в степень:
$(a^2)^4 \cdot (b^{-1})^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{-1 \cdot 4} = a^8b^{-4}$
Записываем ответ без отрицательных степеней:
$a^8b^{-4} = \frac{a^8}{b^4}$
Ответ: $\frac{a^8}{b^4}$

3) $(2a^2)^{-6}$

Возводим в степень $-6$ каждый множитель в скобках (число $2$ и переменную $a^2$):
$(2a^2)^{-6} = 2^{-6} \cdot (a^2)^{-6}$
Вычисляем каждую часть отдельно. Для $(a^2)^{-6}$ перемножаем показатели: $2 \cdot (-6) = -12$. Для $2^{-6}$ используем определение отрицательной степени:
$2^{-6} \cdot a^{-12} = \frac{1}{2^6} \cdot \frac{1}{a^{12}}$
Вычисляем $2^6 = 64$ и объединяем дроби:
$\frac{1}{64} \cdot \frac{1}{a^{12}} = \frac{1}{64a^{12}}$
Ответ: $\frac{1}{64a^{12}}$

4) $(3a^3)^{-4}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Возводим в степень $-4$ каждый множитель:
$(3a^3)^{-4} = 3^{-4} \cdot (a^3)^{-4}$
Применяем правило возведения степени в степень и определение отрицательной степени:
$3^{-4} \cdot a^{3 \cdot (-4)} = 3^{-4} \cdot a^{-12} = \frac{1}{3^4} \cdot \frac{1}{a^{12}}$
Вычисляем $3^4 = 81$ и получаем окончательный результат:
$\frac{1}{81} \cdot \frac{1}{a^{12}} = \frac{1}{81a^{12}}$
Ответ: $\frac{1}{81a^{12}}$