Номер 333, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 17. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 3. Степень с целым показателем - номер 333, страница 120.

Условие.

333. Упростить:

1) $ (a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} $;

2) $ (a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Исходное выражение: $(a^{-3} + b^{-3}) \cdot (a^{-2} - b^{-2})^{-1} \cdot (a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}$.
Для упрощения введем замену переменных: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$(x^3 + y^3) \cdot (x^2 - y^2)^{-1} \cdot (x^2 - xy + y^2)^{-1}$.
Используя свойство степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$, представим выражение в виде дроби:
$\frac{x^3 + y^3}{(x^2 - y^2)(x^2 - xy + y^2)}$.
Теперь применим формулы сокращенного умножения:

• Сумма кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
• Разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Подставим эти формулы в наше выражение:
$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)}$.
Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x^2 - xy + y^2)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{x-y}$.
Выполним обратную замену, подставив $x = a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $y = b^{-1} = \frac{1}{b}$:
$\frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{b-a}{ab}} = \frac{ab}{b-a}$.

Ответ: $\frac{ab}{b-a}$.

2)

Исходное выражение: $(a^{-2}b - ab^{-2}) \cdot (a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1}$.
Преобразуем каждый множитель, используя свойство отрицательной степени $z^{-n} = \frac{1}{z^n}$.
Преобразование первого множителя:
$a^{-2}b - ab^{-2} = \frac{b}{a^2} - \frac{a}{b^2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $a^2b^2$:
$\frac{b \cdot b^2}{a^2b^2} - \frac{a \cdot a^2}{a^2b^2} = \frac{b^3 - a^3}{a^2b^2}$.
Преобразование второго множителя:
$(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2})^{-1} = (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2})^{-1}$.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $a^2b^2$:
$(\frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{ab}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2})^{-1} = (\frac{a^2 + ab + b^2}{a^2b^2})^{-1}$.
Теперь применим свойство $z^{-1} = \frac{1}{z}$:
$\frac{a^2b^2}{a^2 + ab + b^2}$.
Перемножим полученные преобразованные выражения:
$\frac{b^3 - a^3}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 + ab + b^2}$.
Сократим $a^2b^2$. В числителе применим формулу разности кубов $b^3 - a^3 = (b-a)(b^2 + ab + a^2)$:
$\frac{(b-a)(b^2 + ab + a^2)}{a^2 + ab + b^2}$.
Сократим общий множитель $(a^2 + ab + b^2)$:
$b-a$.

Ответ: $b-a$.